図において、円周上に点A, B, C, M, Nがあり、弧AM = 弧MB, 弧AN = 弧NCです。∠BAC = 52°のとき、∠MBNの大きさを求めなさい。

いくつかの問題があるようですが、最初の問題を解きます。

1. 問題の内容

図において、円周上に点A, B, C, M, Nがあり、弧AM = 弧MB, 弧AN = 弧NCです。∠BAC = 52°のとき、∠MBNの大きさを求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、∠BACは円周角なので、対応する中心角∠BOC (Oは円の中心) を求めます。

円周角と中心角の関係より、$∠BOC = 2 × ∠BAC = 2 × 52° = 104°$ です。

次に、弧AM = 弧MBより、∠AOM = ∠MOBです。同様に、弧AN = 弧NCより、∠AON = ∠NOCです。

∠BOC = ∠MOB + ∠NOC + ∠AOM + ∠AON - ∠AOAです。

弧AM = 弧MBより、$∠AOM = ∠MOB = \frac{1}{2}∠AOB$

弧AN = 弧NCより、$∠AON = ∠NOC = \frac{1}{2}∠AOC$

$∠BOC = ∠AOB + ∠AOC - ∠AOA = ∠BOC = 104°$

∠MBNは円周角であり、対応する中心角を求めます。

∠MONは $∠BON - ∠BOM = \frac{1}{2}∠AOB + \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}(∠AOB + ∠AOC)$と表せます。

∠MON = ∠AOB + ∠AOC = ∠BOC。

∠MONの半分が求めるべき円周角なので、$∠MBN = \frac{1}{2} ∠MCN$。

弧AM = 弧MB, 弧AN = 弧NCより、∠MBNに対応する中心角は、∠MONであり、$∠MON = \frac{1}{2} ×(弧AB+弧BC)= \frac{1}{2} ∠BAC$となります。

$∠MBN = \frac{1}{2}(∠AOM+∠AON) = \frac{1}{2}(∠MOB +∠NOC +∠AOM+∠AON)$。

中心角の和は360度なので、弧AM+弧MB+弧AN+弧NC+弧BC= 360。

∠MON = ∠AOM +∠AOB+ ∠AON。

∠BAC =52より、弧BC=52×2=

1

0

4. よって$∠MBN=\frac{1}{2} (∠MON) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} =26°$

したがって、$∠MBN=\frac{1}{2} (360-104) = \frac{1}{2}52 × \frac{1}{2}=78+52=130$.

3. 最終的な答え

∠MBN = 78°