$xyz$ 座標空間内の3点 $A = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ について、以下の問題を解く。 (1) 2点 $A, B$ を通る直線のベクトル方程式を求め、この直線を集合として表す。 (2) 3点 $A, B, C$ を通る平面の方程式を標準形で求め、この平面を集合として表す。

1. 問題の内容

$xyz$ 座標空間内の3点 $A = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ について、以下の問題を解く。

(1) 2点 $A, B$ を通る直線のベクトル方程式を求め、この直線を集合として表す。

(2) 3点 $A, B, C$ を通る平面の方程式を標準形で求め、この平面を集合として表す。

2. 解き方の手順

(1) 2点 $A, B$ を通る直線のベクトル方程式:

ベクトル $\vec{AB}$ は、

$$\vec{AB} = B - A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$$

したがって、点 $A$ を通り、ベクトル $\vec{AB}$ に平行な直線のベクトル方程式は、パラメータ $t$ を用いて次のように表される。

$$\vec{p} = A + t\vec{AB} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+2t \\ 2t \\ 1 \end{bmatrix}$$

直線を集合として表すと、

$$\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+2t \\ 2t \\ 1 \end{bmatrix}, t \in \mathbb{R} \}$$

または、

$$\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x = -1+2t, y = 2t, z=1, t \in \mathbb{R} \}$$

$t = y/2$を $x$に代入すると、$x = -1+y$ つまり、$x-y = -1$。そして、$z = 1$。

$$\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x - y = -1, z=1 \}$$

(2) 3点 $A, B, C$ を通る平面の方程式:

ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を計算する。

$$\vec{AB} = B - A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$$

$$\vec{AC} = C - A = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$$

法線ベクトル $\vec{n}$ は、$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積で求められる。

$$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(2) - 0(0) \\ 0(4) - 2(2) \\ 2(0) - 2(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ -8 \end{bmatrix}$$

$\vec{n}$ を簡単にするために $4$ で割って、$\vec{n} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}$ とする。

平面の方程式は、$ax + by + cz = d$ の形で表され、$x, y, z$ の係数は法線ベクトルに対応する。

したがって、平面の方程式は $x - y - 2z = d$ となる。

点 $A$ を通るので、$x = -1, y = 0, z = 1$ を代入して $d$ を求める。

$-1 - 0 - 2(1) = d$ より $d = -3$。

平面の方程式は $x - y - 2z = -3$。

平面を集合として表すと、

$$\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x - y - 2z = -3 \}$$

3. 最終的な答え

(1) 直線のベクトル方程式: $\vec{p} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$

直線を集合として表すと: $\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x - y = -1, z=1 \}$

(2) 平面の方程式: $x - y - 2z = -3$

平面を集合として表すと: $\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x - y - 2z = -3 \}$