$xyz$座標空間内の3点A$\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, B$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, C$\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$について、以下の問いに答える。 (1) 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式を求め、その直線を集合として表す。 (2) 3点A, B, Cを通る平面の方程式を標準形で求め、その平面を集合として表す。

1. 問題の内容

$xyz$座標空間内の3点A$\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, B$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, C$\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$について、以下の問いに答える。

(1) 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式を求め、その直線を集合として表す。

(2) 3点A, B, Cを通る平面の方程式を標準形で求め、その平面を集合として表す。

2. 解き方の手順

(1) 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式を求める。

まず、方向ベクトル $\vec{d}$ を求める。

$\vec{d} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

したがって、直線上の任意の点$\vec{p}$は、パラメータ$t$を用いて

$\vec{p} = \vec{OA} + t \vec{d} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

と表せる。

これを成分表示すると

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 2t \\ 2t \\ 1 + 2t \end{bmatrix}$

この直線を集合として表すと

$\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 | \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, t \in \mathbb{R} \}$

(2) 3点A, B, Cを通る平面の方程式を求める。

まず、2つのベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求める。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$

次に、法線ベクトル $\vec{n}$ を求める。$\vec{n}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積として計算できる。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(2) - (2)(0) \\ (2)(4) - (2)(2) \\ (2)(0) - (2)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \end{bmatrix}$

法線ベクトルを簡単にすると、$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$となる。

平面上の任意の点$(x, y, z)$に対して、平面の方程式は以下のように表される。

$1(x - (-1)) + 1(y - 0) -2(z - 1) = 0$

$x + 1 + y - 2z + 2 = 0$

$x + y - 2z + 3 = 0$

したがって、平面の方程式は $x + y - 2z = -3$ となる。

この平面を集合として表すと

$\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 | x + y - 2z = -3 \}$

3. 最終的な答え

(1) 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式:

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

2点A, Bを通る直線の集合:

$\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 | \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, t \in \mathbb{R} \}$

(2) 3点A, B, Cを通る平面の方程式:

$x + y - 2z = -3$

3点A, B, Cを通る平面の集合:

$\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 | x + y - 2z = -3 \}$