放射性物質の近くでガイガー計数管が1分あたり平均10カウントを記録する。カウント数Xがポアソン分布に従うとき、1分間に6カウントする確率を求める。

## 問題1

1. 問題の内容

放射性物質の近くでガイガー計数管が1分あたり平均10カウントを記録する。カウント数Xがポアソン分布に従うとき、1分間に6カウントする確率を求める。

2. 解き方の手順

ポアソン分布の確率質量関数は以下で与えられる。

$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

ここで、$X$は事象の発生回数、$k$は実際に観測された事象の発生回数、$\lambda$は事象の平均発生回数である。

この問題では、$\lambda = 10$ (1分あたりの平均カウント数)、$k = 6$ (1分間に6カウント)であるから、それぞれの値を代入すると、

$P(X=6) = \frac{e^{-10} 10^6}{6!}$

$P(X=6) = \frac{e^{-10} \times 1000000}{720}$

$e^{-10}$ は約0.0000454。従って、

$P(X=6) = \frac{0.0000454 \times 1000000}{720} = \frac{45.4}{720} \approx 0.063055...$

3. 最終的な答え

1分間に6カウントする確率は約0.0631。

## 問題2

1. 問題の内容

ある会社で、1日にかかる電話の回数Xは平均5回のポアソン分布に従う。この会社で1日にかかる電話の回数が2回以下である確率を求める。

2. 解き方の手順

1日にかかる電話の回数が2回以下である確率は、$P(X \le 2)$であり、これは$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$で計算できる。

ポアソン分布の確率質量関数は以下で与えられる。

$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

ここで、$\lambda = 5$ (1日の平均電話回数)である。

$P(X=0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = e^{-5} \approx 0.006738$

$P(X=1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = 5e^{-5} \approx 0.033690$

$P(X=2) = \frac{e^{-5} 5^2}{2!} = \frac{25e^{-5}}{2} \approx 0.084224$

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0.006738 + 0.033690 + 0.084224 = 0.124652$

3. 最終的な答え

1日にかかる電話の回数が2回以下である確率は約0.1247。