与えられた条件を満たすように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。以下の3つの小問があります。 (1) 関数 $y = 3x + b$ ($a \le x \le 4$) の値域が $1 \le y \le 19$ であるとき、$a, b$ の値を求めます。 (2) 関数 $y = ax + b$ ($1 \le x \le 3$) の値域が $0 \le y \le 1$ であるとき、$a, b$ の値を求めます。ただし、$a < 0$ とします。 (3) 関数 $y = ax + b$ ($1 < x \le 3$) の値域が $1 \le y < 5$ であるとき、$a, b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たすように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。以下の3つの小問があります。

(1) 関数 $y = 3x + b$ ($a \le x \le 4$) の値域が $1 \le y \le 19$ であるとき、$a, b$ の値を求めます。

(2) 関数 $y = ax + b$ ($1 \le x \le 3$) の値域が $0 \le y \le 1$ であるとき、$a, b$ の値を求めます。ただし、$a < 0$ とします。

(3) 関数 $y = ax + b$ ($1 < x \le 3$) の値域が $1 \le y < 5$ であるとき、$a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x=4$のとき、$y=19$となるので、

$3(4) + b = 19$

$12 + b = 19$

$b = 7$

次に、$x=a$のとき、$y=1$となるので、

$3a + 7 = 1$

$3a = -6$

$a = -2$

したがって、$a = -2, b = 7$です。

(2)

$a < 0$なので、$x=1$のとき$y=1$、$x=3$のとき$y=0$となります。

$a + b = 1$

$3a + b = 0$

2つの式を引き算すると、

$-2a = 1$

$a = -\frac{1}{2}$

$b = 1 - a = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

したがって、$a = -\frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}$です。

(3)

$x=1$のとき、$y=1$、$x=3$のとき、$y=5$となるので、

$a + b = 1$

$3a + b = 5$

2つの式を引き算すると、

$-2a = -4$

$a = 2$

$b = 1 - a = 1 - 2 = -1$

したがって、$a = 2, b = -1$です。

3. 最終的な答え

(1) $a = -2, b = 7$

(2) $a = -\frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}$

(3) $a = 2, b = -1$