与えられた図において、指定された角の大きさ（$x$ または $y$）を求める問題です。それぞれの図において、直線 $l$ と $m$ は円Oの接線であることが与えられています。

1. 問題の内容

与えられた図において、指定された角の大きさ（$x$ または $y$）を求める問題です。それぞれの図において、直線 $l$ と $m$ は円Oの接線であることが与えられています。

2. 解き方の手順

(1)

中心角の定理より、$\angle AOB = 2 \times \angle ACB$ が成り立ちます。$\angle ACB = 29^\circ$ なので、$\angle AOB = 2 \times 29^\circ = 58^\circ$ です。

また、接線と半径は直交するので、$\angle OBP = 90^\circ$ です。三角形 $OBP$ において、$\angle POB = y$ とおくと、$\angle AOB$ が58°と分かっているので、

$y = 180^\circ - 90^\circ - 58^\circ$

$y = 32^\circ$

よって、$y=32^\circ$

(2)

$\angle PBO = 90^\circ$ (接線と半径は直交する)

$\angle P = 44^\circ$

したがって、三角形 PBO において

$\angle POB = 180^\circ - 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$

$\angle AOB = 2x$ (円周角の定理)

したがって、$2x = 46^\circ$

$x = 23^\circ$

(3)

円に外接する四角形の対角の和は $180^\circ$ なので、$80^\circ + \angle BAC = 180^\circ$ が成り立ちます。

したがって、$\angle BAC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

円周角の定理より、$\angle BOC = 2 \times \angle BAC$ が成り立ちます。

よって、$x = 2 \times 100^\circ = 200^\circ$

ただし、$x$ は劣弧 $AC$ に対する中心角なので、円周角の２倍である角は劣弧に対応する中心角です。凸角の方の角を求めると、

$360^\circ - x = 360^\circ - 200^\circ = 160^\circ$

$x = 160^\circ$

(4)

接弦定理より、$\angle BCA = x$ となります。

三角形ABCにおいて、$\angle ABC = 180^\circ - 64^\circ - x = 116^\circ - x$

また、接弦定理より、$x = \angle CBA$ なので、

$\angle ABC = x = 64^\circ$.

3. 最終的な答え

(1) $y = 32^\circ$

(2) $x = 23^\circ$

(3) $x = 160^\circ$

(4) $x = 64^\circ$