2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求める。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $(\alpha - \beta)^2$ (3) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ (4) $\alpha^3 + \beta^3$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求める。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $(\alpha - \beta)^2$

(3) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求める。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

今回の2次方程式は $x^2 - 2x + 3 = 0$ なので、 $a = 1, b = -2, c = 3$ である。

したがって、

$\alpha + \beta = -\frac{-2}{1} = 2$

$\alpha\beta = \frac{3}{1} = 3$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$

(2) $(\alpha - \beta)^2$ を求める。

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$

$(\alpha - \beta)^2 = (2)^2 - 4(3) = 4 - 12 = -8$

(3) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ を求める。

$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta)$

$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = (3)(2) = 6$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$ を求める。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (2)((2)^2 - 3(3)) = (2)(4 - 9) = (2)(-5) = -10$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = -2$

(2) $(\alpha - \beta)^2 = -8$

(3) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = 6$

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = -10$