集合A, B, Cが与えられ、それぞれ4, 6, 10で割り切れる自然数の集合である。(1)では、AとBの共通部分が何で割り切れる自然数の集合であるかを求める。(2)では、集合D, Eがそれぞれ5, 42で割り切れる自然数の集合であるとき、DとEの関係を問う。(3)では、集合Fが12で割り切れず10で割り切れる自然数の集合であるとき、Fを他の集合の和集合で表現する。

1. 問題の内容

集合A, B, Cが与えられ、それぞれ4, 6, 10で割り切れる自然数の集合である。(1)では、AとBの共通部分が何で割り切れる自然数の集合であるかを求める。(2)では、集合D, Eがそれぞれ5, 42で割り切れる自然数の集合であるとき、DとEの関係を問う。(3)では、集合Fが12で割り切れず10で割り切れる自然数の集合であるとき、Fを他の集合の和集合で表現する。

2. 解き方の手順

(1) Aは4の倍数、Bは6の倍数の集合である。A∩Bは4の倍数かつ6の倍数の集合なので、4と6の最小公倍数で割り切れる自然数の集合となる。4と6の最小公倍数は12である。

(2) Dは5の倍数の集合、Eは42の倍数の集合である。

* D $supset$ ウ

* E $subset$ 工

Dは5の倍数、Aは4の倍数なので、包含関係はない。

Dは5の倍数、Bは6の倍数なので、包含関係はない。

Dは5の倍数、Cは10の倍数なので、D $supset$ Cである。よってウはCの3。

Eは42の倍数、Aは4の倍数なので、包含関係はない。

Eは42の倍数、Bは6の倍数なので、B $supset$ Eである。よって工はBの2。

(3) Fは12で割り切れないが10で割り切れる自然数の集合である。ベン図を参考に考える。

Fは10の倍数だが、12の倍数ではない。10の倍数全体の集合はCである。12の倍数全体の集合はA∩Bである。(1)より、A∩Bは12の倍数。よって、FはCからA∩Bを除いた部分である。

ベン図を見ると、

領域1はA∩B∩C

領域2はA∩B∩Cの補集合

領域3はA∩Bの補集合∩C

領域4はA∩Bの補集合∩B

領域5はAの補集合∩Bの補集合∩C

10の倍数の集合Cは、領域1, 3, 5を含む。12の倍数であるA∩Bの集合は領域1, 2を含む。

Fは領域3, 5に相当する。

領域3はAの補集合∩B∩Cで表される。これはAの上にバーがある、B、C

領域5はAの補集合∩Bの補集合∩Cで表される。これはA、Bの上にバーがある、C

F = (Aの補集合∩B∩C) ∪ (Aの補集合∩Bの補集合∩C) = (Aの上にバーがある、B、C) ∪ (A、Bの上にバーがある、C)

したがって、オ、カ、キに入るのは、(Aの上にバーがある、B、C), (A、Bの上にバーがある、C), (Aの上にバーがある、Bの上にバーがある、C)のいずれかである。選択肢の中でこれらに一致するのは、③と⑤と⑥である。

3. 最終的な答え

(1) 12

(2) ウ：3, エ：2

(3) オ：3, カ：5, キ：6