関数 $y = ax + b$ の $0 \le x \le 2$ における値域が $-2 \le y \le 4$ である。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ の $0 \le x \le 2$ における値域が $-2 \le y \le 4$ である。

2. 解き方の手順

この問題には、複数の解法があり得ます。

ここでは場合分けを行い、$a$ と $b$ の値を求める方法を示します。

場合1: $a > 0$ のとき

$x$ が増加すると $y$ も増加します。

したがって、$x = 0$ のとき $y = -2$、 $x = 2$ のとき $y = 4$ となります。

$x = 0$ のとき $y = a \cdot 0 + b = b$ なので、 $b = -2$

$x = 2$ のとき $y = a \cdot 2 + b = 2a + b$ なので、 $2a + b = 4$

$b = -2$ を $2a + b = 4$ に代入すると、$2a - 2 = 4$

$2a = 6$

$a = 3$

この場合、$a = 3$、$b = -2$ で、$a > 0$ の条件を満たします。

場合2: $a < 0$ のとき

$x$ が増加すると $y$ は減少します。

したがって、$x = 0$ のとき $y = 4$、 $x = 2$ のとき $y = -2$ となります。

$x = 0$ のとき $y = a \cdot 0 + b = b$ なので、 $b = 4$

$x = 2$ のとき $y = a \cdot 2 + b = 2a + b$ なので、 $2a + b = -2$

$b = 4$ を $2a + b = -2$ に代入すると、$2a + 4 = -2$

$2a = -6$

$a = -3$

この場合、$a = -3$、$b = 4$ で、$a < 0$ の条件を満たします。

場合3: $a = 0$ のとき

$y = b$となり、これは定数関数です。

値域が$-2 \le y \le 4$を満たさないので、$a=0$ は不適。

3. 最終的な答え

$a = 3$, $b = -2$ または $a = -3$, $b = 4$