円Oに内接する四角形が与えられています。円周角 $z$ が対応する中心角が $126^\circ$ であるとき、円周角 $x$ と $y$ の角度を求めなさい。

1. 問題の内容

円Oに内接する四角形が与えられています。円周角 $z$ が対応する中心角が $126^\circ$ であるとき、円周角 $x$ と $y$ の角度を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$z$を求めます。円周角の定理より、中心角は円周角の2倍であるので、円周角 $z$ が対応する中心角 $126^\circ$ であることから、

$z = \frac{126^\circ}{2} = 63^\circ$

次に、$x$を求めます。円に内接する四角形の対角の和は180°であるので、

$x + z = 180^\circ$

$x + 63^\circ = 180^\circ$

$x = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$

最後に、$y$を求めます。図より、$y$は$126^\circ$の中心角に対する円周角なので、

$y = \frac{360^\circ - 126^\circ}{2} = \frac{234^\circ}{2} = 117^\circ$

あるいは、$x$を求める際に用いた四角形の性質を利用することもできます。

$x+y$は円に内接する四角形の対角をなすので、$x+y = 180^\circ - y$となります。

$x = 117^\circ$であることから、$y = 180^\circ - 63^\circ$

3. 最終的な答え

$x = 117^\circ$

$y = 117^\circ$

$z = 63^\circ$