図において、$\angle ABP = \angle DBP$ のとき、$PA$の長さを求める問題です。ただし、$AB=5$, $AC=8$, $BC=9$が与えられています。

1. 問題の内容

図において、$\angle ABP = \angle DBP$ のとき、$PA$の長さを求める問題です。ただし、$AB=5$, $AC=8$, $BC=9$が与えられています。

2. 解き方の手順

$\angle ABP = \angle DBP$より、$BP$は$\angle ABC$の二等分線である。角の二等分線の性質より、$AP:PC = AB:BC$が成り立つ。

$AP = x$とおくと、$PC = PA + AC = x+8$である。

したがって、

$x : (x+8) = 5 : 9$

$9x = 5(x+8)$

$9x = 5x + 40$

$4x = 40$

$x = 10$

よって、$PA = 10$

3. 最終的な答え

10