2つのベクトル $\vec{a} = (-3, -3, 4)$ と $\vec{b} = (3, 5, -8)$ の両方に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (-3, -3, 4)$ と $\vec{b} = (3, 5, -8)$ の両方に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めるために、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-3)(-8) - (4)(5) \\ (4)(3) - (-3)(-8) \\ (-3)(5) - (-3)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 - 20 \\ 12 - 24 \\ -15 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix}$

(2) 外積ベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-12)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 144 + 36} = \sqrt{196} = 14$

(3) 単位ベクトル $\vec{e}$ を計算します。これは、外積ベクトルをその大きさで割ることで得られます。

$\vec{e} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} \frac{4}{14} \\ \frac{-12}{14} \\ \frac{-6}{14} \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} \frac{2}{7} \\ -\frac{6}{7} \\ -\frac{3}{7} \end{pmatrix}$

したがって、求める単位ベクトルは

$\vec{e} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} \\ -\frac{6}{7} \\ -\frac{3}{7} \end{pmatrix}$ または $\vec{e} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{7} \\ \frac{6}{7} \\ \frac{3}{7} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\vec{e} = (\frac{2}{7}, -\frac{6}{7}, -\frac{3}{7}), (-\frac{2}{7}, \frac{6}{7}, \frac{3}{7})$