2点 $(3,1,7)$ と $(-1,9,2)$ を直径の両端とする球面と $xy$ 平面が交わってできる円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

2点 $(3,1,7)$ と $(-1,9,2)$ を直径の両端とする球面と $xy$ 平面が交わってできる円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、球面の中心と半径を求めます。

球面の中心は、直径の両端の中点であるから、

$(\frac{3+(-1)}{2}, \frac{1+9}{2}, \frac{7+2}{2}) = (1, 5, \frac{9}{2})$

球面の半径 $r$ は、中心と端点の距離であるから、例えば $(3,1,7)$ と $(1, 5, \frac{9}{2})$ の距離を計算します。

$r = \sqrt{(3-1)^2 + (1-5)^2 + (7-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{4 + 16 + \frac{25}{4}} = \sqrt{20 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{80+25}{4}} = \sqrt{\frac{105}{4}} = \frac{\sqrt{105}}{2}$

したがって、球面の式は、

$(x-1)^2 + (y-5)^2 + (z-\frac{9}{2})^2 = (\frac{\sqrt{105}}{2})^2 = \frac{105}{4}$

$xy$ 平面は $z=0$ なので、球面と $xy$ 平面の交線は、上記の球面の式に $z=0$ を代入して得られます。

$(x-1)^2 + (y-5)^2 + (0-\frac{9}{2})^2 = \frac{105}{4}$

$(x-1)^2 + (y-5)^2 + \frac{81}{4} = \frac{105}{4}$

$(x-1)^2 + (y-5)^2 = \frac{105}{4} - \frac{81}{4} = \frac{24}{4} = 6$

これは、中心 $(1,5)$, 半径 $\sqrt{6}$ の円を表しています。

したがって、$xy$ 平面との交線である円の半径は $\sqrt{6}$ です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{6}$