サイコロ1個と硬貨1枚があり、サイコロ、硬貨、サイコロの順に計3回投げる。持ち点0から始め、サイコロを投げるときは出る目の数を持ち点に加え、硬貨を投げるときは、表が出れば持ち点を2倍にし、裏が出ればそのままとする。このとき、持ち点の期待値を求めなさい。

1. 問題の内容

サイコロ1個と硬貨1枚があり、サイコロ、硬貨、サイコロの順に計3回投げる。持ち点0から始め、サイコロを投げるときは出る目の数を持ち点に加え、硬貨を投げるときは、表が出れば持ち点を2倍にし、裏が出ればそのままとする。このとき、持ち点の期待値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、サイコロの目の期待値を計算します。サイコロの目は1から6まであり、それぞれの出る確率は $\frac{1}{6}$ なので、サイコロの目の期待値は、

$$E(サイコロ) = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$$

次に、硬貨の期待値を計算します。硬貨の表が出る確率は $\frac{1}{2}$ で、その場合持ち点は2倍になります。裏が出る確率も $\frac{1}{2}$ で、その場合持ち点は変わりません。したがって、硬貨を投げたときの持ち点の倍率の期待値は、

$$E(硬貨) = \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{2} \times 1 = \frac{3}{2} = 1.5$$

持ち点の期待値は、サイコロ、硬貨、サイコロの順に操作を行った結果として得られる持ち点の期待値です。

1回目のサイコロを投げた後の持ち点の期待値は $\frac{7}{2}$ です。

2回目の硬貨を投げた後の持ち点の期待値は、1回目のサイコロの後の持ち点の期待値に硬貨の期待値をかけたものになるので、

$$E(2回後) = \frac{7}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{21}{4}$$

3回目のサイコロを投げた後の持ち点の期待値は、2回目の硬貨の後の持ち点の期待値にサイコロの期待値を足したものになるので、

$$E(3回後) = \frac{21}{4} + \frac{7}{2} = \frac{21}{4} + \frac{14}{4} = \frac{35}{4}$$

3. 最終的な答え

持ち点の期待値は $\frac{35}{4}$ です。