不等式 $\log_x 2 - (\log_2 y)(\log_x y) < 4(\log_2 x - \log_2 y)$ を満たす $x, y$ の組 $(x, y)$ の範囲を座標平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

不等式 $\log_x 2 - (\log_2 y)(\log_x y) < 4(\log_2 x - \log_2 y)$ を満たす $x, y$ の組 $(x, y)$ の範囲を座標平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、対数が定義されるための条件を確認する。

$x > 0, x \ne 1, y > 0$

与えられた不等式を整理する。

$\log_x 2 - (\log_2 y)(\log_x y) < 4(\log_2 x - \log_2 y)$

底の変換公式 $\log_x y = \frac{\log_2 y}{\log_2 x}$ を用いて、$\log_x y$ を $\log_2 x$ と $\log_2 y$ で表す。

$\log_x 2 - (\log_2 y) \frac{\log_2 y}{\log_2 x} < 4(\log_2 x - \log_2 y)$

$\frac{1}{\log_2 x} - \frac{(\log_2 y)^2}{\log_2 x} < 4(\log_2 x - \log_2 y)$

$\frac{1 - (\log_2 y)^2}{\log_2 x} < 4(\log_2 x - \log_2 y)$

ここで、$\log_2 x = X, \log_2 y = Y$ とおく。

$\frac{1 - Y^2}{X} < 4(X - Y)$

$1 - Y^2 < 4X(X - Y)$

$X>0$の場合：

$1 - Y^2 < 4X^2 - 4XY$

$4X^2 - 4XY + Y^2 > 1$

$(2X - Y)^2 > 1$

$2X - Y > 1$ または $2X - Y < -1$

$Y < 2X - 1$ または $Y > 2X + 1$

$X<0$の場合：

$1 - Y^2 > 4X^2 - 4XY$

$4X^2 - 4XY + Y^2 < 1$

$(2X - Y)^2 < 1$

$-1 < 2X - Y < 1$

$2X - 1 < Y < 2X + 1$

$X = \log_2 x, Y = \log_2 y$ を元に戻す。

$X>0$のとき、$x>1$ であるから、

$\log_2 y < 2\log_2 x - 1$ または $\log_2 y > 2\log_2 x + 1$

$\log_2 y < \log_2 \frac{x^2}{2}$ または $\log_2 y > \log_2 2x^2$

$y < \frac{x^2}{2}$ または $y > 2x^2$

$X<0$のとき、$0<x<1$ であるから、

$2\log_2 x - 1 < \log_2 y < 2\log_2 x + 1$

$\log_2 \frac{x^2}{2} < \log_2 y < \log_2 2x^2$

$\frac{x^2}{2} < y < 2x^2$

$x>0, x \ne 1, y>0$ の条件と合わせて図示する。

3. 最終的な答え

$x>1$ のとき、$0 < y < \frac{x^2}{2}$ または $y > 2x^2$

$0 < x < 1$ のとき、$\frac{x^2}{2} < y < 2x^2$

グラフは、$x>0, x \ne 1, y>0$ の範囲で、曲線 $y = \frac{x^2}{2}$ と $y=2x^2$ で区切られた領域である。

$x>1$ のとき、$y = \frac{x^2}{2}$ より下側の領域と、$y = 2x^2$ より上側の領域。

$0<x<1$ のとき、$y = \frac{x^2}{2}$ より上側で、$y=2x^2$ より下側の領域。