空間に同一直線上にない3点O, A, Bと点Pがある。平面$\alpha$はO, A, Bを通る。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OP} = \vec{p}$とおく。 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$, $\vec{p} \cdot \vec{a} = 2$, $\vec{p} \cdot \vec{b} = -2$が与えられている。 (1) $\vec{p} - s\vec{a} - t\vec{b}$が平面$\alpha$に垂直になるように実数$s, t$を求める。 (2) 平面$\alpha$に関して点Pと対称な点をQとするとき、ベクトル$\overrightarrow{OQ}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{p}$を用いて表す。 (3) 三角形OPQの面積が$\frac{2\sqrt{2}}{3}$のとき、$|\vec{p}|$を求める。

1. 問題の内容

空間に同一直線上にない3点O, A, Bと点Pがある。平面$\alpha$はO, A, Bを通る。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OP} = \vec{p}$とおく。

$|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$, $\vec{p} \cdot \vec{a} = 2$, $\vec{p} \cdot \vec{b} = -2$が与えられている。

(1) $\vec{p} - s\vec{a} - t\vec{b}$が平面$\alpha$に垂直になるように実数$s, t$を求める。

(2) 平面$\alpha$に関して点Pと対称な点をQとするとき、ベクトル$\overrightarrow{OQ}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{p}$を用いて表す。

(3) 三角形OPQの面積が$\frac{2\sqrt{2}}{3}$のとき、$|\vec{p}|$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{p} - s\vec{a} - t\vec{b}$が平面$\alpha$に垂直であるから、$\vec{a}$と$\vec{b}$の両方に垂直である。したがって、

$(\vec{p} - s\vec{a} - t\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

$(\vec{p} - s\vec{a} - t\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$

が成り立つ。これを展開すると、

$\vec{p} \cdot \vec{a} - s|\vec{a}|^2 - t(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{b} - s(\vec{a} \cdot \vec{b}) - t|\vec{b}|^2 = 0$

与えられた値を代入すると、

$2 - 2s + t = 0$

$-2 + s - 2t = 0$

この連立方程式を解くと、

$2s - t = 2$

$s - 2t = 2$

上式から下式を2倍すると、

$2s - t = 2$

$2s - 4t = 4$

差をとると、$3t = -2$より$t = -\frac{2}{3}$

$s = 2 + 2t = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、$s = \frac{2}{3}, t = -\frac{2}{3}$

(2) 平面$\alpha$に関してPとQが対称であるから、$\overrightarrow{OQ} = \vec{q}$とすると、$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP} - 2(\vec{p} - s\vec{a} - t\vec{b}) = \vec{p} - 2(\vec{p} - \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) = -\vec{p} + \frac{4}{3}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b}$

$\overrightarrow{OQ} = -\vec{p} + \frac{4}{3}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b}$

(3) $\triangle OPQ$の面積は$\frac{2\sqrt{2}}{3}$である。

$\triangle OPQ = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}| = \frac{1}{2}|\vec{p} \times (-\vec{p} + \frac{4}{3}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b})| = \frac{1}{2}|\vec{p} \times (\frac{4}{3}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b})| = \frac{2}{3}|\vec{p} \times (\vec{a} - \vec{b})|$

したがって、$\frac{2}{3}|\vec{p} \times (\vec{a} - \vec{b})| = \frac{2\sqrt{2}}{3}$より$|\vec{p} \times (\vec{a} - \vec{b})| = \sqrt{2}$

$|\vec{p} \times (\vec{a} - \vec{b})|^2 = |\vec{p}|^2|\vec{a} - \vec{b}|^2 - (\vec{p} \cdot (\vec{a} - \vec{b}))^2 = |\vec{p}|^2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{p} \cdot \vec{a} - \vec{p} \cdot \vec{b})^2$

$= |\vec{p}|^2(2 + 2 + 2) - (2 - (-2))^2 = 6|\vec{p}|^2 - 16$

$6|\vec{p}|^2 - 16 = 2$より$6|\vec{p}|^2 = 18$

$|\vec{p}|^2 = 3$

$|\vec{p}| = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $s = \frac{2}{3}, t = -\frac{2}{3}$

(2) $\overrightarrow{OQ} = -\vec{p} + \frac{4}{3}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b}$

(3) $|\vec{p}| = \sqrt{3}$