2次方程式 $x^2 - 4x + 7 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、次の式の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x + 7 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha \beta = 7$

(1)

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ より、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = 4^2 - 2 \cdot 7 = 16 - 14 = 2$

(2)

$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$

(1)より、$\alpha^2 + \beta^2 = 2$ であるから、

$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{2}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{2}{7}$