半径1の円に外接する二等辺三角形ABCがあり、$AB = AC$、$\angle BAC = 2\theta$ である。 (1) $AC$ を $\theta$ の三角関数を用いて表せ。 (2) $AC$ が最小となるときの $\sin \theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

半径1の円に外接する二等辺三角形ABCがあり、$AB = AC$、$\angle BAC = 2\theta$ である。

(1) $AC$ を $\theta$ の三角関数を用いて表せ。

(2) $AC$ が最小となるときの $\sin \theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角形 ABC の内接円の半径は 1 である。

三角形 ABC の面積 S は、内接円の半径 r と三角形の周長 L を用いて、$S = \frac{1}{2} r L$ と表せる。

また、三角形の面積は、$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(2\theta)$ とも表せる。

よって、$\frac{1}{2} (AB + BC + CA) = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(2\theta)$

$AB = AC$ より、$AB = AC = x$ とおくと、

$\frac{1}{2} (2x + BC) = \frac{1}{2} x^2 \sin(2\theta)$

$2x + BC = x^2 \sin(2\theta)$

$BC = x^2 \sin(2\theta) - 2x$

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cdot \cos(2\theta)$

$BC^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cos(2\theta) = 2x^2 (1 - \cos(2\theta)) = 2x^2 \cdot 2 \sin^2 \theta = 4x^2 \sin^2 \theta$

$BC = 2x \sin \theta$

$BC = x^2 \sin(2\theta) - 2x$ に $BC = 2x \sin \theta$ を代入すると、

$2x \sin \theta = x^2 \sin(2\theta) - 2x$

$2x \sin \theta + 2x = x^2 \sin(2\theta)$

$2x(\sin \theta + 1) = x^2 \sin(2\theta)$

$2(\sin \theta + 1) = x \sin(2\theta)$

$x = \frac{2(\sin \theta + 1)}{\sin(2\theta)} = \frac{2(\sin \theta + 1)}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta + 1}{\sin \theta \cos \theta}$

$AC = x = \frac{\sin \theta + 1}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1 + \sin \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

(2)

$AC = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta}$

$AC = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1 + \sin \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

$AC = f(\theta) = \frac{1 + \sin \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

$AC$ が最小となるとき、$f'(\theta) = 0$ となる $\theta$ を求める。

$f'(\theta) = \frac{\cos \theta (\sin \theta \cos \theta) - (1 + \sin \theta)(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)}{(\sin \theta \cos \theta)^2} = 0$

$\cos \theta \sin \theta \cos \theta - (1 + \sin \theta)(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0$

$\cos^2 \theta \sin \theta - (1 + \sin \theta)(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0$

$\cos^2 \theta \sin \theta - \cos^2 \theta + \sin^2 \theta - \sin \theta \cos^2 \theta + \sin^3 \theta = 0$

$- \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + \sin^3 \theta = 0$

$\sin^2 \theta - \cos^2 \theta + \sin^3 \theta = 0$

$\sin^2 \theta - (1 - \sin^2 \theta) + \sin^3 \theta = 0$

$2 \sin^2 \theta - 1 + \sin^3 \theta = 0$

$\sin^3 \theta + 2 \sin^2 \theta - 1 = 0$

$(\sin \theta + 1)(\sin^2 \theta + \sin \theta - 1) = 0$

$\sin \theta = -1$ または $\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$

$\sin \theta = -1$ は不適 ($\theta$ は鋭角)

$\sin \theta = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\sin \theta > 0$ より、$\sin \theta = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \frac{1 + \sin \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

(2) $\sin \theta = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$