与えられた点の座標に基づいて、以下の点の座標を求めます。 (1) 2点A(2, 3), B(8, 9)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点 (2) 2点A(1, 4), B(7, -5)を結ぶ線分ABを3:2に外分する点 (3) 2点A(4, 8), B(6, 12)を結ぶ線分ABの中点M (4) A(3, 2), B(5, 7), C(-2, -3)を頂点とする△ABCの重心

1. 問題の内容

与えられた点の座標に基づいて、以下の点の座標を求めます。

(1) 2点A(2, 3), B(8, 9)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点

(2) 2点A(1, 4), B(7, -5)を結ぶ線分ABを3:2に外分する点

(3) 2点A(4, 8), B(6, 12)を結ぶ線分ABの中点M

(4) A(3, 2), B(5, 7), C(-2, -3)を頂点とする△ABCの重心

2. 解き方の手順

(1) 線分ABを $m:n$ に内分する点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$)とすると、

$\displaystyle \left( \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n} \right)$

です。

この問題では、A(2, 3), B(8, 9) を 2:1 に内分するので、

$\displaystyle \left( \frac{1\cdot 2 + 2\cdot 8}{2+1}, \frac{1\cdot 3 + 2\cdot 9}{2+1} \right) = \left( \frac{2+16}{3}, \frac{3+18}{3} \right) = \left( \frac{18}{3}, \frac{21}{3} \right) = (6, 7)$

(2) 線分ABを $m:n$ に外分する点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$)とすると、

$\displaystyle \left( \frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n} \right)$

です。

この問題では、A(1, 4), B(7, -5) を 3:2 に外分するので、

$\displaystyle \left( \frac{-2\cdot 1 + 3\cdot 7}{3-2}, \frac{-2\cdot 4 + 3\cdot (-5)}{3-2} \right) = \left( \frac{-2+21}{1}, \frac{-8-15}{1} \right) = (19, -23)$

(3) 線分ABの中点Mの座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$)とすると、

$\displaystyle \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$

です。

この問題では、A(4, 8), B(6, 12) の中点なので、

$\displaystyle \left( \frac{4+6}{2}, \frac{8+12}{2} \right) = \left( \frac{10}{2}, \frac{20}{2} \right) = (5, 10)$

(4) △ABCの重心の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$), C($x_3$, $y_3$)とすると、

$\displaystyle \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$

です。

この問題では、A(3, 2), B(5, 7), C(-2, -3) の重心なので、

$\displaystyle \left( \frac{3+5+(-2)}{3}, \frac{2+7+(-3)}{3} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{6}{3} \right) = (2, 2)$

3. 最終的な答え

(1) (6, 7)

(2) (19, -23)

(3) (5, 10)

(4) (2, 2)