三角形ABCがあり、辺BCの中点をMとする。線分AM上にAP:PM=3:1となる点Pをとる。点Pを通り三角形ABCの各辺に平行な直線を引いたときの、三角形ABCの各辺との交点を図のように定める。三角形ABCの面積が320 cm²であるとき、図の斜線部分の面積の和を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺BCの中点をMとする。線分AM上にAP:PM=3:1となる点Pをとる。点Pを通り三角形ABCの各辺に平行な直線を引いたときの、三角形ABCの各辺との交点を図のように定める。三角形ABCの面積が320 cm²であるとき、図の斜線部分の面積の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCと三角形PFMの相似比を求める。

AP:PM = 3:1なので、AM:PM = (3+1):1 = 4:1

したがって、AM:PM = 4:1 より、三角形ABCと三角形PFMの相似比は4:1である。

面積比は相似比の2乗に等しいので、三角形ABCと三角形PFMの面積比は $4^2:1^2 = 16:1$ である。

三角形ABCの面積が320 cm²なので、三角形PFMの面積は $320/16 = 20$ cm²である。

次に、三角形ABCと三角形ADEの相似比を求める。

AP:AM = 3:4なので、AD:AB = AE:AC = 3/4

したがって、三角形ABCと三角形ADEの相似比は4:3である。

面積比は相似比の2乗に等しいので、三角形ABCと三角形ADEの面積比は $4^2:3^2 = 16:9$ である。

三角形ABCの面積が320 cm²なので、三角形ADEの面積は $320 * 9/16 = 20 * 9 = 180$ cm²である。

斜線部分である台形BDEFの面積は、三角形ABCの面積から三角形ADEの面積を引いたものに等しいので $320 - 180 = 140$ cm²。

同様に、三角形ABCと三角形GIHの相似比も4:3であるため、三角形GIHの面積は180 cm²であり、斜線部分である台形CIHGの面積は $320 - 180 = 140$ cm²。

求める斜線部分の面積の和は、三角形ADEの面積+三角形IGHの面積+三角形PFMの面積なので、$180+180+20 = 380$ となる。台形の面積ではないので注意。

三角形ADEと三角形IGHの相似比は同じなので、それぞれの面積も等しい。

三角形ADEの面積は $320 \times (3/4)^2 = 320 \times 9/16 = 20 \times 9 = 180$ cm²。

三角形PFMの面積は $320 \times (1/4)^2 = 320 \times 1/16 = 20$ cm²。

求める面積は $180/2 + 180/2 + 20 = 90+90+20=200$

三角形 ADE とIGHの面積は等しく、それぞれ三角形ABCの $(3/4)^2 = 9/16$倍。

三角形PFMの面積は三角形ABCの $(1/4)^2 = 1/16$倍。

斜線部分の面積の和は $2\times (9/16) + (1/16) = (18+1)/16 = 19/16$

$320 * (9/16)=180 cm^2$.

求めたい面積の合計は$180 * (1/2) + 180 * (1/2) + 20 = 180+20=200 cm^2$

3. 最終的な答え

200 cm²