三角形ABCと三角形A'B'C'において、$\angle A = \angle A'$、$\angle B = \angle B' = 90^{\circ}$、$AB = 2$、$BC = 1$、$A'B' = 3$ が与えられている。このとき、$A'C'$ の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCと三角形A'B'C'において、$\angle A = \angle A'$、$\angle B = \angle B' = 90^{\circ}$、$AB = 2$、$BC = 1$、$A'B' = 3$ が与えられている。このとき、$A'C'$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCについて、三平方の定理よりACの長さを求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$AC = \sqrt{5}$

次に、三角形A'B'C'について考える。$\angle A = \angle A'$ より、tanの値を求める。

$\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$

$\tan A' = \frac{B'C'}{A'B'} = \frac{B'C'}{3}$

$\angle A = \angle A'$より、$\tan A = \tan A'$ であるから、

$\frac{1}{2} = \frac{B'C'}{3}$

$B'C' = \frac{3}{2}$

再び三平方の定理を用いて$A'C'$の長さを計算する。

$A'C'^2 = A'B'^2 + B'C'^2$

$A'C'^2 = 3^2 + (\frac{3}{2})^2 = 9 + \frac{9}{4} = \frac{36}{4} + \frac{9}{4} = \frac{45}{4}$

$A'C' = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{9 \times 5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{5}}{2}$