与えられた点の座標から、以下の点の座標を求めます。 (1) 2点A(2, 3), B(8, 9)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点 (2) 2点A(1, 4), B(7, -5)を結ぶ線分ABを3:2に外分する点 (3) 2点A(4, 8), B(6, 12)を結ぶ線分ABの中点M (4) A(3, 2), B(5, 7), C(-2, -3)を頂点とする△ABCの重心

1. 問題の内容

与えられた点の座標から、以下の点の座標を求めます。

(1) 2点A(2, 3), B(8, 9)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点

(2) 2点A(1, 4), B(7, -5)を結ぶ線分ABを3:2に外分する点

(3) 2点A(4, 8), B(6, 12)を結ぶ線分ABの中点M

(4) A(3, 2), B(5, 7), C(-2, -3)を頂点とする△ABCの重心

2. 解き方の手順

(1) 線分ABを$m:n$に内分する点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$)としたとき、

$(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}, \frac{ny_1+my_2}{m+n})$で求められます。

A(2, 3), B(8, 9)を2:1に内分する点の座標は

$(\frac{1\times2+2\times8}{2+1}, \frac{1\times3+2\times9}{2+1})=(\frac{2+16}{3}, \frac{3+18}{3})=(\frac{18}{3}, \frac{21}{3})=(6, 7)$

(2) 線分ABを$m:n$に外分する点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$)としたとき、

$(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1+my_2}{m-n})$で求められます。

A(1, 4), B(7, -5)を3:2に外分する点の座標は

$(\frac{-2\times1+3\times7}{3-2}, \frac{-2\times4+3\times(-5)}{3-2})=(\frac{-2+21}{1}, \frac{-8-15}{1})=(19, -23)$

(3) 線分ABの中点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$)としたとき、

$(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$で求められます。

A(4, 8), B(6, 12)の中点の座標は

$(\frac{4+6}{2}, \frac{8+12}{2})=(\frac{10}{2}, \frac{20}{2})=(5, 10)$

(4) 三角形の重心の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$), C($x_3$, $y_3$)としたとき、

$(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$で求められます。

A(3, 2), B(5, 7), C(-2, -3)の重心の座標は

$(\frac{3+5+(-2)}{3}, \frac{2+7+(-3)}{3})=(\frac{6}{3}, \frac{6}{3})=(2, 2)$

3. 最終的な答え

(1) (6, 7)

(2) (19, -23)

(3) (5, 10)

(4) (2, 2)