関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ について、その微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k=0, 1, 2$)を求め、また、$x=0$ における2次までのテイラー展開を剰余項 $R_3$ で表す。剰余項は具体的に求める必要はない。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ について、その微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k=0, 1, 2$)を求め、また、$x=0$ における2次までのテイラー展開を剰余項 $R_3$ で表す。剰余項は具体的に求める必要はない。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を微分する。

$f(x) = (1+x)^{-2}$

1階微分：

$f'(x) = -2(1+x)^{-3}$

2階微分：

$f''(x) = 6(1+x)^{-4}$

次に、それぞれの導関数に $x=0$ を代入して、微分係数を求める。

$f(0) = (1+0)^{-2} = 1$

$f'(0) = -2(1+0)^{-3} = -2$

$f''(0) = 6(1+0)^{-4} = 6$

最後に、2次までのテイラー展開を求める。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

それぞれの値を代入して、

$f(x) \approx 1 - 2x + \frac{6}{2}x^2 + R_3$

$f(x) \approx 1 - 2x + 3x^2 + R_3$

3. 最終的な答え

微分係数は

$f(0) = 1$

$f'(0) = -2$

$f''(0) = 6$

2次までのテイラー展開は

$f(x) = 1 - 2x + 3x^2 + R_3$