関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ について、その微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k=0, 1, 2$)を求め、また、$x=0$ における2次までのテイラー展開を剰余項 $R_3$ で表す。剰余項は具体的に求める必要はない。

解析学微分テイラー展開微分係数関数の微分
2025/7/9

1. 問題の内容

関数 f(x)=1(1+x)2f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} について、その微分係数 f(k)(0)f^{(k)}(0) (k=0,1,2k=0, 1, 2)を求め、また、x=0x=0 における2次までのテイラー展開を剰余項 R3R_3 で表す。剰余項は具体的に求める必要はない。

2. 解き方の手順

まず、関数 f(x)f(x) を微分する。
f(x)=(1+x)2f(x) = (1+x)^{-2}
1階微分:
f(x)=2(1+x)3f'(x) = -2(1+x)^{-3}
2階微分:
f(x)=6(1+x)4f''(x) = 6(1+x)^{-4}
次に、それぞれの導関数に x=0x=0 を代入して、微分係数を求める。
f(0)=(1+0)2=1f(0) = (1+0)^{-2} = 1
f(0)=2(1+0)3=2f'(0) = -2(1+0)^{-3} = -2
f(0)=6(1+0)4=6f''(0) = 6(1+0)^{-4} = 6
最後に、2次までのテイラー展開を求める。
f(x)f(0)+f(0)x+f(0)2!x2+R3f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3
それぞれの値を代入して、
f(x)12x+62x2+R3f(x) \approx 1 - 2x + \frac{6}{2}x^2 + R_3
f(x)12x+3x2+R3f(x) \approx 1 - 2x + 3x^2 + R_3

3. 最終的な答え

微分係数は
f(0)=1f(0) = 1
f(0)=2f'(0) = -2
f(0)=6f''(0) = 6
2次までのテイラー展開は
f(x)=12x+3x2+R3f(x) = 1 - 2x + 3x^2 + R_3

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