与えられた積分 $\int \sin x \cos^3 x dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sin x \cos^3 x dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

置換積分を用いる。

$u = \cos x$ と置くと、$du = -\sin x dx$ となる。したがって、

$\sin x dx = -du$ である。

積分は、

$\int \sin x \cos^3 x dx = \int u^3 (-du) = -\int u^3 du$

となる。

$u^3$ の積分は $\frac{u^4}{4}$ であるから、

$-\int u^3 du = -\frac{u^4}{4} + C$

ここで、$u = \cos x$ を代入すると、

$-\frac{u^4}{4} + C = -\frac{\cos^4 x}{4} + C$

3. 最終的な答え

$\int \sin x \cos^3 x dx = -\frac{\cos^4 x}{4} + C$