不定積分 $\int (x^2 + 1) \sin x \, dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (x^2 + 1) \sin x \, dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を繰り返し用いることで解くことができます。

まず、$u = x^2 + 1$、$dv = \sin x \, dx$ とすると、

$du = 2x \, dx$、$v = -\cos x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

$\int (x^2 + 1) \sin x \, dx = -(x^2 + 1) \cos x - \int (-\cos x) (2x) \, dx = -(x^2 + 1) \cos x + 2 \int x \cos x \, dx$

次に、$\int x \cos x \, dx$ を計算するために、再度部分積分を行います。

$u = x$、$dv = \cos x \, dx$ とすると、$du = dx$、$v = \sin x$ となります。

したがって、

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C_1$

これらをまとめると、

$\int (x^2 + 1) \sin x \, dx = -(x^2 + 1) \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C$

$= -(x^2 + 1) \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$

$= -x^2 \cos x - \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$

$= -x^2 \cos x + 2x \sin x + \cos x + C$

3. 最終的な答え

$\int (x^2 + 1) \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + \cos x + C$