定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin|x| dx$ を計算します。

## 問題の解答

画像に写っている数学の問題を順に解いていきます。

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1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin|x| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために積分区間を分割します。

$x < 0$ のとき $|x| = -x$ であり、 $x \ge 0$ のとき $|x| = x$ であるので、積分は次のように分割できます。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin|x| dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin(-x) dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) dx$

$\sin(-x) = -\sin(x)$ なので、

$= -\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin(x) dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) dx$

$\sin(x)$ の原始関数は $-\cos(x)$ なので、

$= [\cos(x)]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} + [-\cos(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= (\cos(0) - \cos(-\frac{\pi}{2})) + (-\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0))$

$= (1 - 0) + (-0 + 1)$

$= 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin|x| dx = 2$

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1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{1} \sqrt{|x+2|} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために積分区間を分割します。

$x < -2$ のとき $|x+2| = -(x+2)$ であり、 $x \ge -2$ のとき $|x+2| = x+2$ であるので、積分は次のように分割できます。

$\int_{-3}^{1} \sqrt{|x+2|} dx = \int_{-3}^{-2} \sqrt{-(x+2)} dx + \int_{-2}^{1} \sqrt{x+2} dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-3}^{-2} \sqrt{-(x+2)} dx = \int_{-3}^{-2} \sqrt{-x-2} dx$

$u = -x-2$ とすると $du = -dx$ であり、$x = -3$ のとき $u = 1$ 、 $x = -2$ のとき $u = 0$ となります。

よって、

$\int_{-3}^{-2} \sqrt{-x-2} dx = -\int_{1}^{0} \sqrt{u} du = \int_{0}^{1} \sqrt{u} du = \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} du = [\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$

次に、

$\int_{-2}^{1} \sqrt{x+2} dx$

$v = x+2$ とすると $dv = dx$ であり、$x = -2$ のとき $v = 0$ 、 $x = 1$ のとき $v = 3$ となります。

よって、

$\int_{-2}^{1} \sqrt{x+2} dx = \int_{0}^{3} \sqrt{v} dv = \int_{0}^{3} v^{\frac{1}{2}} dv = [\frac{2}{3}v^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3} = \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

したがって、

$\int_{-3}^{1} \sqrt{|x+2|} dx = \frac{2}{3} + 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\int_{-3}^{1} \sqrt{|x+2|} dx = \frac{2}{3} + 2\sqrt{3}$

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1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} |xe^{-x}| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために積分区間を分割します。

$e^{-x}$ は常に正なので、$xe^{-x}$ の符号は $x$ の符号と同じになります。したがって、$x<0$ のとき $|xe^{-x}| = -xe^{-x}$ であり、$x \ge 0$ のとき $|xe^{-x}| = xe^{-x}$ であるので、積分は次のように分割できます。

$\int_{-1}^{2} |xe^{-x}| dx = \int_{-1}^{0} -xe^{-x} dx + \int_{0}^{2} xe^{-x} dx$

部分積分を用いてそれぞれの積分を計算します。

$\int xe^{-x} dx = \int x (-e^{-x})' dx = x(-e^{-x}) - \int (1)(-e^{-x})dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

$\int_{-1}^{0} -xe^{-x} dx = - \int_{-1}^{0} xe^{-x} dx = - [-xe^{-x} - e^{-x}]_{-1}^{0} = - [(-0e^{-0} - e^{-0}) - (-(-1)e^{-(-1)} - e^{-(-1)})] = -[(-0 - 1) - (e - e)] = - [-1 -0] = 1$

$\int_{0}^{2} xe^{-x} dx = [-xe^{-x} - e^{-x}]_{0}^{2} = (-2e^{-2} - e^{-2}) - (-0e^{-0} - e^{-0}) = -3e^{-2} - (-1) = 1 - 3e^{-2}$

したがって、

$\int_{-1}^{2} |xe^{-x}| dx = 1 + 1 - 3e^{-2} = 2 - 3e^{-2}$

3. 最終的な答え

$\int_{-1}^{2} |xe^{-x}| dx = 2 - 3e^{-2}$

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1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{1}{2}}^{2} |\log x| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために積分区間を分割します。

$\log x$ は $0 < x < 1$ で負、$x \ge 1$ で正なので、積分は次のように分割できます。

$\int_{\frac{1}{2}}^{2} |\log x| dx = \int_{\frac{1}{2}}^{1} -\log x dx + \int_{1}^{2} \log x dx$

部分積分を用いてそれぞれの積分を計算します。

$\int \log x dx = \int (x)' \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x + C$

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} -\log x dx = -[x \log x - x]_{\frac{1}{2}}^{1} = -[(1 \log 1 - 1) - (\frac{1}{2} \log \frac{1}{2} - \frac{1}{2})] = -[(0 - 1) - (\frac{1}{2} (-\log 2) - \frac{1}{2})] = -[-1 + \frac{1}{2} \log 2 + \frac{1}{2}] = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log 2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log 2$

$\int_{1}^{2} \log x dx = [x \log x - x]_{1}^{2} = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) = 2 \log 2 - 2 - (0 - 1) = 2 \log 2 - 1$

したがって、

$\int_{\frac{1}{2}}^{2} |\log x| dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log 2 + 2 \log 2 - 1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \log 2$

3. 最終的な答え

$\int_{\frac{1}{2}}^{2} |\log x| dx = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \log 2$