与えられた数式の計算を行い、分母を有理化して答えよ。 数式は以下の通りです。 $\frac{1}{\sqrt{5}+2} + \frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の計算を行い、分母を有理化して答えよ。

数式は以下の通りです。

$\frac{1}{\sqrt{5}+2} + \frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化します。

- 第1項：$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$

分母の共役な式 $\sqrt{5}-2$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+2} = \frac{1}{\sqrt{5}+2} \times \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2$

- 第2項：$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$

分母の共役な式 $2-\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$

- 第3項：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

分母の共役な式 $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

次に、有理化した各項を足し合わせます。

$(\sqrt{5}-2) + (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = \sqrt{5}-2 + 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5} - \sqrt{2}$