双曲線 $x^2 - 3y^2 = 1$ と直線 $y = x + k$ の共有点の個数を、$k$の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

双曲線 $x^2 - 3y^2 = 1$ と直線 $y = x + k$ の共有点の個数を、$k$の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、双曲線と直線の式を連立させて、$y$を消去します。

$x^2 - 3(x+k)^2 = 1$

$x^2 - 3(x^2 + 2kx + k^2) = 1$

$x^2 - 3x^2 - 6kx - 3k^2 = 1$

$-2x^2 - 6kx - 3k^2 - 1 = 0$

$2x^2 + 6kx + 3k^2 + 1 = 0$

この2次方程式の判別式を$D$とすると、

$D = (6k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3k^2 + 1) = 36k^2 - 24k^2 - 8 = 12k^2 - 8$

判別式$D$の符号によって、共有点の個数が決まります。

* $D > 0$のとき、共有点は2個

* $D = 0$のとき、共有点は1個

* $D < 0$のとき、共有点は0個

$D = 0$となるのは、$12k^2 - 8 = 0$のときなので、$12k^2 = 8$より、$k^2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

よって、$k = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

$k = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ のとき、共有点は1個。

$k < - \frac{\sqrt{6}}{3}$、$\frac{\sqrt{6}}{3} < k$のとき、$D > 0$なので、共有点は2個。

$-\frac{\sqrt{6}}{3} < k < \frac{\sqrt{6}}{3}$のとき、$D < 0$なので、共有点は0個。

3. 最終的な答え

ア：6

イ：3

ウ：2

エ：0

$k = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$のとき1個、$k < - \frac{\sqrt{6}}{3}$, $\frac{\sqrt{6}}{3} < k$のとき2個、$-\frac{\sqrt{6}}{3} < k < \frac{\sqrt{6}}{3}$のとき0個である。