放物線 $y = 3x^2 + 6x$ を $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動させたときの、移動後の放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = 3x^2 + 6x$ を $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動させたときの、移動後の放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

平行移動の基本は、$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動する場合、$x$ を $x-p$ に、$y$ を $y-q$ に置き換えることです。

この問題では、$x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動させるので、$x$ を $x-(-3) = x+3$ に、$y$ を $y-2$ に置き換えます。

元の放物線の方程式は

$y = 3x^2 + 6x$

です。

$x$ を $x+3$ に、$y$ を $y-2$ に置き換えると、

$y - 2 = 3(x+3)^2 + 6(x+3)$

となります。

この式を整理します。

$y - 2 = 3(x^2 + 6x + 9) + 6x + 18$

$y - 2 = 3x^2 + 18x + 27 + 6x + 18$

$y - 2 = 3x^2 + 24x + 45$

$y = 3x^2 + 24x + 45 + 2$

$y = 3x^2 + 24x + 47$

3. 最終的な答え

移動後の放物線の方程式は

$y = 3x^2 + 24x + 47$

です。