複素数平面上の異なる3点O(0), A($\alpha$), B($\beta$)に対して、$\alpha^2 - 2\alpha\beta + 4\beta^2 = 0$ が成り立つとき、$\angle AOB$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面上の異なる3点O(0), A($\alpha$), B($\beta$)に対して、$\alpha^2 - 2\alpha\beta + 4\beta^2 = 0$ が成り立つとき、$\angle AOB$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式 $\alpha^2 - 2\alpha\beta + 4\beta^2 = 0$ を変形して、$\alpha/\beta$ を求めることを目指します。

まず、与式を $\beta^2$ で割ります（$\beta \ne 0$ より可能）。

$$(\frac{\alpha}{\beta})^2 - 2(\frac{\alpha}{\beta}) + 4 = 0$$

ここで、$z = \alpha/\beta$ と置くと、$z^2 - 2z + 4 = 0$ となります。

この二次方程式を解の公式で解きます。

$$z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$$

よって、$\frac{\alpha}{\beta} = 1 \pm i\sqrt{3}$ です。

ここで、$\frac{\alpha}{\beta}$ の偏角を求めます。

$1 + i\sqrt{3}$ の偏角は $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3}$ です。

$1 - i\sqrt{3}$ の偏角は $\arctan(\frac{-\sqrt{3}}{1}) = -\frac{\pi}{3}$ です。

$\angle AOB$ は $\frac{\alpha}{\beta}$ の偏角の絶対値なので、$\angle AOB = |\arg(\frac{\alpha}{\beta})| = |\pm \frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{3}$ となります。

$\frac{\pi}{3}$ は $60^\circ$ に相当します。

3. 最終的な答え

$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3}$ ラジアン、または $60^\circ$