a, bは実数とする。以下の（1）～（4）において、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいは必要条件でも十分条件でもないかを判定する。

1. 問題の内容

a, bは実数とする。以下の（1）～（4）において、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいは必要条件でも十分条件でもないかを判定する。

2. 解き方の手順

(1)

$a + b > 0$ かつ $ab > 0$ は、$a > 0$ かつ $b > 0$ であるための条件を考える。

$a > 0$ かつ $b > 0$ ならば、$a + b > 0$ かつ $ab > 0$ は成立する。

しかし、$a + b > 0$ かつ $ab > 0$ であっても、$a > 0$ かつ $b > 0$ とは限らない。例えば、$a=1$, $b=2$の場合は成立するが、$a=-1$, $b=-2$の場合、$a+b=-3 < 0$であるため、$ab > 0$ と $a + b > 0$ の条件を満たしても、$a > 0$ かつ $b > 0$ とはならない。

$a > 0$ かつ $b > 0$ ならば $a + b > 0$ かつ $ab > 0$ であるから、右の条件は左の条件の十分条件である。

$a + b > 0$ かつ $ab > 0$ は $a > 0$ かつ $b > 0$ であるための十分条件ではない。

$a + b > 0$ かつ $ab > 0$ ならば $a > 0$ かつ $b > 0$ ではないので、左の条件は右の条件の必要条件ではない。

よって、十分条件ではあるが必要条件ではない。答えは②。

(2)

$a > 2$ かつ $b > 2$ は、$a + b > 4$ かつ $ab > 4$ であるための条件を考える。

$a > 2$ かつ $b > 2$ ならば、$a + b > 4$ かつ $ab > 4$ は成立する。

$a > 2$ かつ $b > 2$ とすると、$a+b>2+2=4$ かつ $ab > 2 \times 2 = 4$となる。

$a+b>4$ かつ $ab>4$ ならば、$a>2$ かつ $b>2$ とは限らない。例えば、$a=1$, $b=5$のとき、$a+b=6>4$, $ab=5>4$だが、$a>2$を満たさない。

$a > 2$ かつ $b > 2$ ならば $a + b > 4$ かつ $ab > 4$ であるから、左の条件は右の条件の十分条件である。

$a + b > 4$ かつ $ab > 4$ ならば $a > 2$ かつ $b > 2$ ではないので、左の条件は右の条件の必要条件ではない。

よって、十分条件ではあるが必要条件ではない。答えは②。

(3)

$a^2 = b^2$ は、$a^4 = b^4$ であるための条件を考える。

$a^2 = b^2$ ならば $a^4 = b^4$ である。

$a^4 = b^4$ ならば $a^2 = b^2$ である。

$a^4 = b^4$ のとき、$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = 0$ である。

$a, b$ は実数なので、$a^2 + b^2 = 0$ ならば $a = 0$ かつ $b = 0$ である。

$a^2 + b^2 \neq 0$ ならば、$a^2 - b^2 = 0$ つまり $a^2 = b^2$ である。

$a=0, b=0$ならば$a^2 = b^2 = 0$である。

よって、$a^4 = b^4$ ならば $a^2 = b^2$ である。

したがって、必要十分条件である。答えは③。

(4)

$a > b$ は、$a^2 > b^2$ であるための条件を考える。

$a > b$ ならば、$a^2 > b^2$ とは限らない。例えば、$a = 1$, $b = -2$ とすると、$a > b$ であるが、$a^2 = 1$, $b^2 = 4$ なので、$a^2 < b^2$ となる。

$a^2 > b^2$ ならば、$a > b$ とも限らない。例えば、$a = -1$, $b = -2$ とすると、$a^2 = 1$, $b^2 = 4$ なので、$a^2 < b^2$となり、$a > b$ を満たさない。しかし、$a = 2, b = 1$ ならば、$a^2 = 4, b^2 = 1$となり、$a > b$ を満たす。

したがって、必要条件でも十分条件でもない。答えは④。

3. 最終的な答え

(1) ②

(2) ②

(3) ③

(4) ④