関数 $y = x^2 - 6x + c$ (定義域は $1 \leq x \leq 4$) の最大値が $-3$ であるとき、定数 $c$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 6x + c$ (定義域は $1 \leq x \leq 4$) の最大値が $-3$ であるとき、定数 $c$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

与えられた関数は二次関数なので、まず平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

$y = x^2 - 6x + c = (x-3)^2 - 9 + c$

したがって、頂点の座標は $(3, -9+c)$ です。

定義域 $1 \leq x \leq 4$ を考慮すると、軸 $x = 3$ は定義域に含まれます。

この二次関数は下に凸な放物線なので、定義域内で最大値を取るのは、定義域の端点です。

$x=1$のとき、$y = 1^2 - 6(1) + c = 1 - 6 + c = c - 5$

$x=4$のとき、$y = 4^2 - 6(4) + c = 16 - 24 + c = c - 8$

したがって、定義域内で最大値を取るのは$x=1$のときであり、その値は$c-5$です。

問題文より、最大値は $-3$ なので、$c-5 = -3$ が成り立ちます。

この方程式を解くと、$c = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$c = 2$