三角形ABCにおいて、Aから辺BCに下ろした垂線の足をD、Cから辺ABに下ろした垂線の足をEとし、ADとCEの交点をFとする。BD=12, DC=8, CF=10, FE=6のとき、AEとACの長さを求め、さらに辺ABを3:2に内分する点をPとし、線分ADとCPの交点をQとしたとき、AQの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、Aから辺BCに下ろした垂線の足をD、Cから辺ABに下ろした垂線の足をEとし、ADとCEの交点をFとする。BD=12, DC=8, CF=10, FE=6のとき、AEとACの長さを求め、さらに辺ABを3:2に内分する点をPとし、線分ADとCPの交点をQとしたとき、AQの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) AEとACの長さを求める。

三角形AFEと三角形CFDは相似である（2角相等）。

したがって、対応する辺の比は等しいので、

$\frac{AE}{CD} = \frac{FE}{CF}$

$CD = 8$, $FE = 6$, $CF = 10$を代入すると、

$\frac{AE}{8} = \frac{6}{10}$

$AE = \frac{6}{10} \times 8 = \frac{48}{10} = 4.8$

三角形BECと三角形ADBも相似である（2角相等）。

$AD \perp BC$, $CE \perp AB$より、Fは三角形ABCの垂心である。よって$BF \perp AC$となる。

三角形AFEと三角形CFDが相似であることから、

$\frac{AF}{FD} = \frac{FE}{CF} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

ここで、チェバの定理より、

$\frac{AE}{EB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{AE}{EB} \times \frac{12}{8} \times \frac{10}{AF} = 1$

メネラウスの定理より、三角形ABDにおいて直線CEを考えると、

$\frac{AE}{EB} \times \frac{BC}{CD} \times \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{AE}{EB} \times \frac{20}{8} \times \frac{FD}{FA} = 1$

$\frac{AE}{EB} \times \frac{20}{8} \times \frac{5}{3} = 1$

$\frac{AE}{EB} = \frac{24}{100} = \frac{6}{25}$

よって、$EB = \frac{25}{6}AE$

三角形ACEにおいて、三平方の定理より

$AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2AE \times CE \times cosE$

$AC^2 = AE^2 + CE^2$ ($AE \perp CE$だから）

$CE = CF + FE = 10 + 6 = 16$

$AC^2 = (4.8)^2 + (16)^2 = 23.04 + 256 = 279.04$

$AC = \sqrt{279.04} = 16.7044...$

これはうまくいかない。

三角形BCEと三角形ADBについて、

$BC = BD + DC = 12 + 8 = 20$

$CE = CF + FE = 10 + 6 = 16$

$AD = ?$

$BE = ?$

$\angle BEC = \angle ADB = 90^{\circ}$

$\angle B$が共通

正弦定理より、

$\frac{AE}{\sin \angle C} = \frac{AC}{\sin \angle E}$

$\frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AC}{\sin \angle B}$

相似より

$\frac{BE}{BD} = \frac{BC}{BA}$

面積で考える。

$\frac{1}{2} \times AB \times CE = \frac{1}{2} \times BC \times AD = S$

$AB \times 16 = 20 \times AD$

$AD = \frac{16}{20} AB = \frac{4}{5} AB$

三角形ABCにおいて、角の二等分線の定理より

$\frac{AE}{BE} = \frac{AC}{BC}$

$\frac{4.8}{BE} = \frac{AC}{20}$

$BE = \frac{4.8 \times 20}{AC} = \frac{96}{AC}$

$AB = AE + BE = 4.8 + \frac{96}{AC}$

メネラウスの定理を使う。三角形ABEで直線CDについて

$\frac{AD}{DB} \times \frac{BC}{CE} \times \frac{EF}{FA} = 1$

三角形ACEにおいて、メネラウスの定理を適用して、直線BDについて

$\frac{AD}{DC} \times \frac{CB}{BE} \times \frac{EA}{AC} = 1$

$\frac{AD}{8} \times \frac{20}{BE} \times \frac{4.8}{AC} = 1$

$\frac{AD}{8} \times \frac{20}{\frac{96}{AC}} \times \frac{4.8}{AC} = 1$

$\frac{AD}{8} \times \frac{20 AC}{96} \times \frac{4.8}{AC} = 1$

$\frac{AD}{8} \times \frac{20}{96} \times 4.8 = 1$

$\frac{AD}{8} = \frac{96}{20 \times 4.8} = \frac{96}{96} = 1$

$AD = 8$

$AB = \frac{5}{4}AD = \frac{5}{4} \times 8 = 10$

$BE = AB - AE = 10 - 4.8 = 5.2$

$\frac{4.8}{5.2} = \frac{AC}{20}$

$AC = \frac{4.8 \times 20}{5.2} = \frac{96}{5.2} = \frac{240}{13} = 18.46...$

(2) AQの長さを求める。

ABを3:2に内分する点をPとするので、$AP:PB = 3:2$

$AB = 10$なので、$AP = 10 \times \frac{3}{5} = 6$、$PB = 4$

メネラウスの定理を三角形ABDについて直線CPを考えると、

$\frac{AP}{PB} \times \frac{BC}{CD} \times \frac{DQ}{QA} = 1$

$\frac{3}{2} \times \frac{20}{8} \times \frac{DQ}{QA} = 1$

$\frac{3}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{DQ}{QA} = 1$

$\frac{15}{4} \times \frac{DQ}{QA} = 1$

$\frac{DQ}{QA} = \frac{4}{15}$

$AQ:QD = 15:4$

$AD = 8$なので

$AQ = \frac{15}{19} \times AD = \frac{15}{19} \times 8 = \frac{120}{19}$

3. 最終的な答え

AE = 4.8

AC = $\frac{240}{13}$

AQ = $\frac{120}{19}$