三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=5$, $AC=4$とする。三角形ABCの外接円をOとし、点Aにおける円Oの接線をlとする。直線lと点Aで接し、かつ直線BCにも接する円をPとする。円Pと直線BCの接点をQ、円Pと直線ACの交点のうちAと異なるものをRとする。さらに、接線l上に∠BASが鋭角となるようにSをとる。 (1) ∠BAS=x, ∠BAQ=yとする。lは円O,円Pの点Aにおける接線であるとき、∠BCA, ∠QRA, ∠CQR, ∠QARの角度を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=5$, $AC=4$とする。三角形ABCの外接円をOとし、点Aにおける円Oの接線をlとする。直線lと点Aで接し、かつ直線BCにも接する円をPとする。円Pと直線BCの接点をQ、円Pと直線ACの交点のうちAと異なるものをRとする。さらに、接線l上に∠BASが鋭角となるようにSをとる。

(1) ∠BAS=x, ∠BAQ=yとする。lは円O,円Pの点Aにおける接線であるとき、∠BCA, ∠QRA, ∠CQR, ∠QARの角度を求める。

2. 解き方の手順

まず、△ABCについて、$AB=3$, $BC=5$, $AC=4$であるから、$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$となり、三平方の定理より△ABCは∠BAC=90°の直角三角形である。

lは円Oの接線であるから、接弦定理より∠BCA = ∠BAS = x。

lは円Pの接線でもあるから、接弦定理より∠BAQ = ∠ARQ = y。

したがって、∠QRA = ∠ARQ = y。

また、円Pの円周角の定理より∠QAR = ∠QRA = y。

したがって、∠BCA = ∠BAS = x, ∠QRA = ∠BAQ = y。

△ABCにおいて、∠BAC = 90°なので、∠BCA + ∠ABC = 90°であり、したがって∠BCA = x = 90° - ∠ABC。

△ABQにおいて、∠BAQ = y, ∠ABQ = ∠ABCであるから、∠AQB = 180° - (∠BAQ + ∠ABQ) = 180° - (y + ∠ABC)。

したがって、∠CQR = ∠AQB = 180° - (y + ∠ABC)。

∠QAR = yであり、∠BAC = 90°であるから、∠CAQ = 90° - y。

△ABCにおいて、∠ACB = ∠BCA = xであり、∠ABC + x = 90°であるから、∠ABC = 90° - x。

したがって、∠CQR = 180° - (y + 90° - x) = 90° + x - y。

また、四角形AQRAは円に内接しているので、∠AQRA + ∠ARA = 180°であり、∠ARA = ∠CRAである。

∠QRA = yなので、∠CRA = 180°-y。

∠RQA = 180° -∠CQR = 180°-（90°+x-y） = 90°-x+y。

また、四角形ARQにおいて、

∠RAQ + ∠ARQ + ∠RQA = 180°。

∠ARQ=yであるから、

∠RAQ + y + ∠RQA = 180°。

∠QRA=y

また△AQRの内角の和は180°より、∠QAR+∠AQR+∠QRA=180°。

∠QAR=yなので、∠AQR+∠QRA=180-y。

また∠CQR+∠AQR=180°より、∠CQR=180-∠AQR

∠CQR=180-∠AQR = 180- (180-y-y) = 2y.

∠QAR = y.

△ABCにおいて、∠CAB=90°であり、∠BCA=x、∠ABC=90-xである。

∠QAR=y、∠BAQ=yなので、∠CAB=∠CAQ+∠BAQより、∠CAQ=90-yである。

△AQCにおいて∠AQC+∠QCA+∠CAQ=180°であるので、∠AQC=180-∠QCA-∠CAQ=180-x-(90-y)=90-x+y。

したがって∠CQR=180-∠AQC=180-(90-x+y)=90+x-y。

△ABQで∠BAQ=yなので∠AQB=180-∠ABQ-∠BAQ=(180-∠ABC-y)。

したがって∠CQR=(180-∠ABC-y)。

∠BCA = x

∠QRA = y

$x + y = 90^{\circ}$

∠CQR = $180 - (180 - (x+y))= 2y$.

3. 最終的な答え

∠BCA = x

∠QRA = y

∠CQR = $2y$

∠QAR = $x$

最終的な答え：

ア：x

イ：y

ウ：2y

エ：x