ある産院で年間210回の出産があり、双生児が生まれる確率が150回に1回であるとする。このとき、双生児が2回以上生まれる確率を求める。

1. 問題の内容

ある産院で年間210回の出産があり、双生児が生まれる確率が150回に1回であるとする。このとき、双生児が2回以上生まれる確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布を用いて解くことができます。

- 双生児が生まれる確率 $p$ は $p = \frac{1}{150}$ です。

- 出産の回数 $n$ は $n = 210$ です。

- 双生児が生まれる回数を表す確率変数 $X$ は、二項分布 $B(n, p)$ に従います。つまり、$X \sim B(210, \frac{1}{150})$ です。

- 求める確率は $P(X \geq 2)$ です。これは、1から $P(X=0)$ と $P(X=1)$ を引いたものです。

$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$

二項分布の確率質量関数は以下の通りです。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$P(X=0) = \binom{210}{0} (\frac{1}{150})^0 (1-\frac{1}{150})^{210-0} = (1-\frac{1}{150})^{210} = (\frac{149}{150})^{210}$

$P(X=1) = \binom{210}{1} (\frac{1}{150})^1 (1-\frac{1}{150})^{210-1} = 210 \times \frac{1}{150} \times (\frac{149}{150})^{209} = \frac{210}{150} (\frac{149}{150})^{209}$

計算を簡単にするために、ポアソン分布で近似します。ポアソン分布のパラメータ $\lambda$ は $\lambda = np = 210 \times \frac{1}{150} = \frac{210}{150} = 1.4$ です。

ポアソン分布の確率質量関数は以下の通りです。

$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

$P(X=0) = \frac{e^{-1.4} 1.4^0}{0!} = e^{-1.4} \approx 0.2466$

$P(X=1) = \frac{e^{-1.4} 1.4^1}{1!} = 1.4e^{-1.4} \approx 0.3452$

$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - 0.2466 - 0.3452 = 1 - 0.5918 = 0.4082$

小数第3位までなので、0.408

3. 最終的な答え

0.408