1から10までの数字が書かれた10枚のカードが入った箱から、カードを1枚取り出し、数字を記録して箱に戻す操作を3回繰り返す。 (1) 記録された数字の最大値が6以下である確率を求めます。 (2) 記録された数字の最大値が6である確率を求めます。

1. 問題の内容

1から10までの数字が書かれた10枚のカードが入った箱から、カードを1枚取り出し、数字を記録して箱に戻す操作を3回繰り返す。

(1) 記録された数字の最大値が6以下である確率を求めます。

(2) 記録された数字の最大値が6である確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 最大値が6以下である確率

3回とも1から6のいずれかの数字が出る確率を求めます。

1回の試行で1から6のいずれかの数字が出る確率は $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ です。

3回の試行が独立であるため、求める確率は

$(\frac{3}{5})^3 = \frac{27}{125}$

です。

(2) 最大値が6である確率

最大値が6であるということは、少なくとも1回は6が出て、3回とも6以下の数字が出る必要があります。

最大値が6以下である確率から、最大値が5以下である確率を引けば、最大値が6である確率が求まります。

最大値が5以下である確率は、3回とも1から5のいずれかの数字が出る確率です。

1回の試行で1から5のいずれかの数字が出る確率は $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ です。

3回の試行が独立であるため、最大値が5以下である確率は

$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

です。

したがって、最大値が6である確率は

$\frac{27}{125} - \frac{1}{8} = \frac{27 \cdot 8 - 125}{125 \cdot 8} = \frac{216 - 125}{1000} = \frac{91}{1000}$

です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値が6以下である確率は $\frac{27}{125}$

(2) 最大値が6である確率は $\frac{91}{1000}$