$a \geq 0$ のとき、2次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1$ ($0 \leq x \leq 1$) について、最大値 $M$ と最小値 $m$ を $a$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$a \geq 0$ のとき、2次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1$ ($0 \leq x \leq 1$) について、最大値 $M$ と最小値 $m$ を $a$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1 = (x - a)^2 + a + 1$

このグラフは、軸が $x = a$ であり、下に凸の放物線である。定義域は $0 \leq x \leq 1$ である。軸 $x = a$ の位置によって、最大値と最小値を取る場所が変わるので、場合分けして考える。

(1) 最大値 $M$ について

場合1: $a \leq \frac{1}{2}$ のとき

$x=0$のとき最大値を取る。

$M = 0^2 - 2a(0) + a^2 + a + 1 = a^2 + a + 1$

場合2: $a > \frac{1}{2}$ のとき

$x=1$のとき最大値を取る。

$M = 1^2 - 2a(1) + a^2 + a + 1 = a^2 - a + 2$

(2) 最小値 $m$ について

場合1: $0 \leq a \leq 1$ のとき

軸 $x=a$ が定義域内にあるので、$x = a$ で最小値を取る。

$m = (a - a)^2 + a + 1 = a + 1$

場合2: $a > 1$ のとき

軸 $x = a$ が定義域の右側にあるので、$x = 1$ で最小値を取る。

$m = (1 - a)^2 + a + 1 = a^2 - 2a + 1 + a + 1 = a^2 - a + 2$

場合3: $a < 0$のとき

定義域の左側に軸があるので$x=0$で最小値を取る

$m = (0-a)^2 + a+1 = a^2+a+1$

3. 最終的な答え

(1) 最大値 $M$

$0 \leq a \leq \frac{1}{2}$ のとき $M = a^2 + a + 1$

$a > \frac{1}{2}$ のとき $M = a^2 - a + 2$

(2) 最小値 $m$

$0 \leq a \leq 1$ のとき $m = a + 1$

$a > 1$ のとき $m = a^2 - a + 2$