関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4}$ について、定義域が $2 \le x \le 4$ のときの最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4}$ について、定義域が $2 \le x \le 4$ のときの最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数を平方完成します。

$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) - \frac{1}{4}$

$= -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}((x-1)^2 - 1) - \frac{1}{4}$

$= -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{4}$

したがって、$f(x) = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{4}$ となります。

この関数は上に凸な放物線であり、軸は $x=1$ です。

定義域は $2 \le x \le 4$ なので、軸は定義域に含まれません。

$x=2$ のとき、$f(2) = -\frac{1}{2}(2-1)^2 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

$x=4$ のとき、$f(4) = -\frac{1}{2}(4-1)^2 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}(9) + \frac{1}{4} = -\frac{9}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{18}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{17}{4}$

よって、最大値は $x=2$ のときの $f(2) = -\frac{1}{4}$ であり、最小値は $x=4$ のときの $f(4) = -\frac{17}{4}$ です。

3. 最終的な答え

最大値は $-\frac{1}{4}$

最小値は $-\frac{17}{4}$