与えられた2次関数 $y = 3x^2 + 4x + 2$ のグラフの軸と頂点を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 3x^2 + 4x + 2$ のグラフの軸と頂点を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 3x^2 + 4x + 2$

$y = 3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 2$

$y = 3\left(x^2 + \frac{4}{3}x + \left(\frac{2}{3}\right)^2\right) - 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 2$

$y = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 - 3\left(\frac{4}{9}\right) + 2$

$y = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{3} + 2$

$y = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{2}{3}$

平方完成された式は $y = a(x - h)^2 + k$ の形になります。ここで、頂点の座標は $(h, k)$ であり、軸は直線 $x = h$ です。

この問題の場合、$a = 3$, $h = -\frac{2}{3}$, $k = \frac{2}{3}$ となります。

したがって、軸は直線 $x = -\frac{2}{3}$ であり、頂点の座標は $\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ です。

3. 最終的な答え

軸：直線 $x = -\frac{2}{3}$

頂点：点 $\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$