「KAWAGOE」の7文字を1列に並べるとき、K, W, Gがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか求める。

1. 問題の内容

「KAWAGOE」の7文字を1列に並べるとき、K, W, Gがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか求める。

2. 解き方の手順

まず、7文字を並べる場合の総数を求める。ただし、「A」が2つあるので、同じものを含む順列となる。

7文字の並べ方の総数は $\frac{7!}{2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$通り。

次に、K, W, G の順番を固定して考える。K, W, G の並び順は固定されているので、これら3文字を同じ文字（例えばX）に置き換えて考える。つまり、「X X X A O E」の4文字と3つのXの並び方を考えればよい。

7文字のうちK, W, G の場所を決めるのは $\frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

7文字の並べ方である。ただし、「A」が2つあるので、 $\frac{7!}{2!}$ となる。K, W, G の順番は固定されているので、この3文字が特定の順番で並んでいる場合は $\frac{1}{3!}$ の確率で発生する。

K, W, G の並び順は 3! = 6 通りあるが、K, W, G の順番が固定されているので、全並び方のうち、K, W, G がこの順に並ぶのは $1/6$ である。

したがって、求める並べ方は、全体の並べ方の総数をK, W, Gの並び方の数で割ったものとなる。

$\frac{7!}{2! \times 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times \frac{4}{2} \times \frac{6}{6} = 420$ 通り

3. 最終的な答え

420