「KAWAGOE」の7文字を1列に並べるとき、K, W, Gがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか求める。

算数順列組み合わせ重複順列
2025/7/9

1. 問題の内容

「KAWAGOE」の7文字を1列に並べるとき、K, W, Gがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか求める。

2. 解き方の手順

まず、7文字を並べる場合の総数を求める。ただし、「A」が2つあるので、同じものを含む順列となる。
7文字の並べ方の総数は 7!2!=7×6×5×4×3×2×12×1=7×6×5×4×3=2520\frac{7!}{2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520通り。
次に、K, W, G の順番を固定して考える。K, W, G の並び順は固定されているので、これら3文字を同じ文字(例えばX)に置き換えて考える。つまり、「X X X A O E」の4文字と3つのXの並び方を考えればよい。
7文字のうちK, W, G の場所を決めるのは 7!3!4!=7×6×53×2×1=35\frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35通り。
7文字の並べ方である。ただし、「A」が2つあるので、 7!2!\frac{7!}{2!} となる。K, W, G の順番は固定されているので、この3文字が特定の順番で並んでいる場合は 13!\frac{1}{3!} の確率で発生する。
K, W, G の並び順は 3! = 6 通りあるが、K, W, G の順番が固定されているので、全並び方のうち、K, W, G がこの順に並ぶのは 1/61/6 である。
したがって、求める並べ方は、全体の並べ方の総数をK, W, Gの並び方の数で割ったものとなる。
7!2!×3!=7×6×5×4×3×2×12×1×3×2×1=7×6×5×42×66=420\frac{7!}{2! \times 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times \frac{4}{2} \times \frac{6}{6} = 420 通り

3. 最終的な答え

420

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