1から100までの自然数について、以下の数をそれぞれ求める。 (1) 4で割り切れ、かつ6で割り切れる数 (2) 4で割り切れる、または6で割り切れる数 (3) 4で割り切れない、または6で割り切れない数

1. 問題の内容

1から100までの自然数について、以下の数をそれぞれ求める。

(1) 4で割り切れ、かつ6で割り切れる数

(2) 4で割り切れる、または6で割り切れる数

(3) 4で割り切れない、または6で割り切れない数

2. 解き方の手順

(1) 4で割り切れ、かつ6で割り切れる数

4と6の最小公倍数を求める。4と6の最小公倍数は12である。

1から100までの自然数の中で12で割り切れる数を求める。

$100 ÷ 12 = 8.333...$

したがって、12の倍数は8個である。

(2) 4で割り切れる、または6で割り切れる数

4で割り切れる数の個数を求める。

$100 ÷ 4 = 25$

6で割り切れる数の個数を求める。

$100 ÷ 6 = 16.666...$

したがって、6で割り切れる数は16個である。

4でも6でも割り切れる数（12で割り切れる数）は(1)で求めたように8個である。

4で割り切れる数、または6で割り切れる数の個数は、4で割り切れる数の個数と6で割り切れる数の個数を足し合わせ、4と6両方で割り切れる数の個数を引くことで求められる。

$25 + 16 - 8 = 33$

したがって、4で割り切れる、または6で割り切れる数は33個である。

(3) 4で割り切れない、または6で割り切れない数

4で割り切れない、または6で割り切れない数は、全体から4で割り切れ、かつ6で割り切れる数を引いたものではない。

全体(100個)から4で割り切れ、かつ6で割り切れる数(12の倍数)の個数を引くと間違った答えになる。

ド・モルガンの法則を利用すると、

「4で割り切れない、または6で割り切れない」は、「4で割り切れ"ない"」または「6で割り切れ"ない"」という条件を満たす数の個数を求めればよい。これは、「4で割り切れる」と「6で割り切れる」の否定である。

4で割り切れる数の否定（4で割り切れない数）の個数: $100 - 25 = 75$

6で割り切れる数の否定（6で割り切れない数）の個数: $100 - 16 = 84$

4で割り切れ"ず"、かつ6で割り切れ"ない"数の個数を求める。

全体100から「4で割り切れる、または6で割り切れる」数を引く。

つまり $100 - 33 = 67$

これは4でも6でも割り切れない数の個数。

「4で割り切れない、または6で割り切れない数」は、全体の数から「4で割り切れ、かつ6で割り切れる数」の否定である。

全体 - (4で割り切れる、かつ6で割り切れる数の否定)

これは間違い

全体から「4で割り切れ、かつ6で割り切れる」数の個数を引くのは間違い。

$100 - 8 = 92$

「4で割り切れない、または6で割り切れない」は、「4で割り切れる数の否定」"または"「6で割り切れる数の否定」である。

全体 - （4で割り切れ、かつ6で割り切れる）

$100 - 8 = 92$

3. 最終的な答え

(1) 8個

(2) 33個

(3) 92個