0, 1, 5, 6, 8, 9 の6つの数字から4つを選んで4桁の整数を作るとき、奇数は何通りできるかを求める問題です。

1. 問題の内容

0, 1, 5, 6, 8, 9 の6つの数字から4つを選んで4桁の整数を作るとき、奇数は何通りできるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

4桁の整数が奇数であるためには、一の位が奇数である必要があります。与えられた数字のうち奇数は1, 5, 9 の3つです。

一の位が奇数である場合を考えます。

(i) 一の位が奇数の場合：

一の位の数字は1, 5, 9のいずれかであるため、3通りの選び方があります。

次に、千の位を考えます。千の位には0は使えません。

千の位に0を使えないことに注意して、場合分けをします。

(a) 一の位に1, 5, 9のうちのいずれかを選んだとき、残りの数字は5個です。

千の位が0でない場合を考えます。

(a-1) 0が残りの4つの数字に含まれていない場合：千の位の選択肢は4通りあります。百の位の選択肢は4通りあります。十の位の選択肢は3通りあります。よって、 $4 \times 4 \times 3 = 48$ 通りです。

(a-2) 0が残りの4つの数字に含まれている場合：千の位の選択肢は3通りあります。百の位の選択肢は4通りあります。十の位の選択肢は3通りあります。よって、 $3 \times 4 \times 3 = 36$ 通りです。

(i) 一の位が奇数の場合を再度考えます。一の位は3通り。千の位は0以外の数字を選ぶ必要があります。

- 一の位に奇数を選びます (3通り)。

- 千の位は0以外の数字から選びます。ここで場合分けします。

1. 選んだ奇数の中に0がない数字を選ぶ場合（1, 5, 9）：

- 一の位を決めると、残りの数字は5個です。そのうち0以外の数字は、

- 0が含まれていない場合：千の位は4通り、百の位は4通り、十の位は3通りなので、$4 \times 4 \times 3 = 48$通り。

- 0が含まれている場合：千の位は3通り、百の位は4通り、十の位は3通りなので、$3 \times 4 \times 3 = 36$通り。

2. 0がない数字を選んだ場合：千の位は0以外の数字を選ぶので、残りの数字の中に0が含まれていれば千の位の選択肢は減ります。

- 一の位が奇数：3通り

- 千の位が0以外：

- 0が含まれる場合：5つの数から一の位で1つ使い、千の位は0以外なので4つの数字から0を除いた数、百の位は4つ、十の位は3つ。

- 0が含まれない場合：一の位で1つ使うと、残りの5つの数字に0は含まれないので、千の位は5つの数字から1つ、百の位は4つの数字から1つ、十の位は3つの数字から1つ。

- 残りの位の並び方

一の位を先に決めて、千の位、百の位、十の位の順に考えると、複雑になるので、逆に考えます。

千の位、百の位、十の位、一の位の順に考えます。

千の位は0以外の数字なので5通りの選び方があります。

一の位は奇数なので、1, 5, 9 の3通りの選び方があります。

百の位、十の位は残りの数字から選びます。

千の位が奇数の場合：

千の位の選び方は、1, 5, 9 のいずれかなので3通り。一の位は残りの奇数から選ぶので2通り。残りの4つの数字から百の位と十の位を選ぶので、 $4 \times 3 = 12$ 通り。よって、$3 \times 2 \times 12 = 72$ 通り。

千の位が奇数ではない場合：

千の位の選び方は、6, 8 のいずれかなので2通り。一の位は奇数から選ぶので3通り。残りの4つの数字から百の位と十の位を選ぶので、$4 \times 3 = 12$ 通り。よって、$2 \times 3 \times 12 = 72$ 通り。

合計すると、$72 + 72 = 144$ 通りです。

ただし、千の位に0が来ないようにする必要があります。

まず、千の位が奇数の場合を考えます。

千の位は1, 5, 9のいずれかなので3通り。

一の位も奇数なので、残りの2通りの奇数から選びます。

残りの4つの数字から百の位と十の位を選ぶので、4P2 = $4 \times 3 = 12$通り。

$3 \times 2 \times 12 = 72$通り。

次に、千の位が偶数の場合を考えます。

千の位は6, 8のいずれかなので2通り。

一の位は奇数なので、1, 5, 9のいずれかなので3通り。

残りの4つの数字から百の位と十の位を選ぶので、4P2 = $4 \times 3 = 12$通り。

$2 \times 3 \times 12 = 72$通り。

合計すると、$72 + 72 = 144$通りです。

千の位が0にならないことを考慮する必要があります。

一の位に奇数を固定して、千の位、百の位、十の位の順で考えます。

一の位が奇数 (1, 5, 9) の場合を3通りで固定します。

千の位が0でないという条件があるので、先に千の位から考えます。

(1) 千の位が奇数の場合 (1, 5, 9のうちの一つ)：3通り

一の位は残りの奇数から選ぶので、2通り。

残りの4つの数字から百の位と十の位を選ぶので、$4 \times 3 = 12$通り。

よって、$3 \times 2 \times 12 = 72$通り。

(2) 千の位が偶数の場合 (6, 8)：2通り

一の位は奇数 (1, 5, 9) から選ぶので、3通り。

残りの4つの数字から百の位と十の位を選ぶので、$4 \times 3 = 12$通り。

よって、$2 \times 3 \times 12 = 72$通り。

(3) 千の位が0の場合：これはありえない。

全部で $72 + 72 = 144$通り。

3. 最終的な答え

144通り