与えられた10個の二次方程式を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の二次方程式を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) $3x^2 = 25$

両辺を3で割ると $x^2 = \frac{25}{3}$。

したがって、$x = \pm \sqrt{\frac{25}{3}} = \pm \frac{5}{\sqrt{3}} = \pm \frac{5\sqrt{3}}{3}$.

(2) $49x^2 - 28x + 4 = 0$

$(7x - 2)^2 = 0$

$7x - 2 = 0$

$7x = 2$

$x = \frac{2}{7}$

(3) $x^2 + 2x - 2 = 0$

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いる。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

(4) $(3x-1)^2 - 3(3x-1) - 10 = 0$

$A = 3x - 1$ とすると、$A^2 - 3A - 10 = 0$.

$(A-5)(A+2) = 0$.

$A = 5$ or $A = -2$.

$3x - 1 = 5 \implies 3x = 6 \implies x = 2$.

$3x - 1 = -2 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$.

(5) $\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{2} = 0$

両辺を2倍すると $x^2 + 2x - 1 = 0$。

解の公式を用いると、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

(6) $3(x-5)^2 - 45 = 0$

$3(x-5)^2 = 45$

$(x-5)^2 = 15$

$x - 5 = \pm \sqrt{15}$

$x = 5 \pm \sqrt{15}$.

(7) $(\frac{x-2}{2})^2 - \frac{5}{4} = \frac{x+3}{2}$

$\frac{(x-2)^2}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2(x+3)}{4}$

$(x-2)^2 - 5 = 2(x+3)$

$x^2 - 4x + 4 - 5 = 2x + 6$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

$(x-7)(x+1) = 0$

$x = 7$ or $x = -1$.

(8) $5x^2 + 9x - 2 = 0$

$(5x-1)(x+2)=0$

$x = \frac{1}{5}$ or $x = -2$.

(9) $2x^2 - 9x = 0$

$x(2x-9) = 0$

$x = 0$ or $2x - 9 = 0 \implies x = \frac{9}{2}$.

(10) $-3x^2 - 21x + 24 = 0$

両辺を-3で割ると $x^2 + 7x - 8 = 0$.

$(x+8)(x-1) = 0$

$x = -8$ or $x = 1$.

3. 最終的な答え

(1) $x = \pm \frac{5\sqrt{3}}{3}$

(2) $x = \frac{2}{7}$

(3) $x = -1 \pm \sqrt{3}$

(4) $x = 2, -\frac{1}{3}$

(5) $x = -1 \pm \sqrt{2}$

(6) $x = 5 \pm \sqrt{15}$

(7) $x = 7, -1$

(8) $x = \frac{1}{5}, -2$

(9) $x = 0, \frac{9}{2}$

(10) $x = -8, 1$