2次方程式 $x^2 - 3x + 8 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3$

代数学二次方程式解と係数の関係解の対称式
2025/7/9

1. 問題の内容

2次方程式 x23x+8=0x^2 - 3x + 8 = 0 の2つの解を α\alpha, β\beta とするとき、以下の式の値を求めます。
(1) α2+β2\alpha^2 + \beta^2
(2) α3+β3\alpha^3 + \beta^3

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、
α+β=3\alpha + \beta = 3
αβ=8\alpha \beta = 8
(1) α2+β2\alpha^2 + \beta^2 について:
(α+β)2=α2+2αβ+β2(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 であるから、
α2+β2=(α+β)22αβ\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta
α2+β2=322×8=916=7\alpha^2 + \beta^2 = 3^2 - 2 \times 8 = 9 - 16 = -7
(2) α3+β3\alpha^3 + \beta^3 について:
α3+β3=(α+β)(α2αβ+β2)\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)
α3+β3=(α+β){(α2+β2)αβ}\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta) \{(\alpha^2 + \beta^2) - \alpha\beta\}
α3+β3=3×(78)=3×(15)=45\alpha^3 + \beta^3 = 3 \times (-7 - 8) = 3 \times (-15) = -45

3. 最終的な答え

(1) α2+β2=7\alpha^2 + \beta^2 = -7
(2) α3+β3=45\alpha^3 + \beta^3 = -45

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