2次方程式 $x^2 - 3x + 8 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 8 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = 8$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ について：

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ であるから、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = 3^2 - 2 \times 8 = 9 - 16 = -7$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$ について：

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta) \{(\alpha^2 + \beta^2) - \alpha\beta\}$

$\alpha^3 + \beta^3 = 3 \times (-7 - 8) = 3 \times (-15) = -45$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = -7$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 = -45$