4次式 $x^4 - 4x^2 - 5$ を、以下の範囲で因数分解せよ。 (1) 有理数の範囲 (2) 実数の範囲 (3) 複素数の範囲

1. 問題の内容

4次式 $x^4 - 4x^2 - 5$ を、以下の範囲で因数分解せよ。

(1) 有理数の範囲

(2) 実数の範囲

(3) 複素数の範囲

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = X$ とおくと、与式は $X^2 - 4X - 5$ となる。これを因数分解すると、

$X^2 - 4X - 5 = (X - 5)(X + 1)$

したがって、

$x^4 - 4x^2 - 5 = (x^2 - 5)(x^2 + 1)$

(1) 有理数の範囲

$x^2-5$ は有理数の範囲では因数分解できないので、

$x^4 - 4x^2 - 5 = (x^2 - 5)(x^2 + 1)$

(2) 実数の範囲

$x^2 - 5 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$

$x^2 + 1$ は実数の範囲では因数分解できない。

したがって、

$x^4 - 4x^2 - 5 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 1)$

(3) 複素数の範囲

$x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$

したがって、

$x^4 - 4x^2 - 5 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i)(x + i)$

3. 最終的な答え

(1) 有理数の範囲: $(x^2 - 5)(x^2 + 1)$

(2) 実数の範囲: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 1)$

(3) 複素数の範囲: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i)(x + i)$