複素数 $z$ は $z^7 = 1$ かつ $z \neq 1$ を満たす。$z$ の偏角を $\theta$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6$ を求めよ。 (2) $\cos\theta + \cos2\theta + \cos4\theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z$ は $z^7 = 1$ かつ $z \neq 1$ を満たす。$z$ の偏角を $\theta$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6$ を求めよ。

(2) $\cos\theta + \cos2\theta + \cos4\theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $z^7 = 1$ より、$z^7 - 1 = 0$ である。

$z^7 - 1 = (z-1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0$ である。

$z \neq 1$ より、$z-1 \neq 0$ であるから、

$z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ が成り立つ。

よって、$z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = -1$ である。

(2) $z = \cos\theta + i\sin\theta$ とおくと、ド・モアブルの定理より、

$z^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ が成り立つ。

$z + z^2 + z^4 = (\cos\theta + \cos2\theta + \cos4\theta) + i(\sin\theta + \sin2\theta + \sin4\theta)$ である。

また、$z^6 + z^5 + z^3 = \overline{z} + \overline{z^2} + \overline{z^4} = (\cos\theta + \cos2\theta + \cos4\theta) - i(\sin\theta + \sin2\theta + \sin4\theta)$ である。

したがって、

$z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = (z + z^2 + z^4) + (z^3 + z^5 + z^6) = 2(\cos\theta + \cos2\theta + \cos4\theta) = -1$ である。

よって、$\cos\theta + \cos2\theta + \cos4\theta = -\frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) -1/2