4次式 $x^4 - 4x^2 - 5$ を、(1)有理数の範囲、(2)実数の範囲、(3)複素数の範囲でそれぞれ因数分解せよ。

1. 問題の内容

4次式 $x^4 - 4x^2 - 5$ を、(1)有理数の範囲、(2)実数の範囲、(3)複素数の範囲でそれぞれ因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = X$ とおくと、$x^4 - 4x^2 - 5 = X^2 - 4X - 5$ となります。

$X^2 - 4X - 5$ を因数分解すると、$(X-5)(X+1)$となります。

したがって、$x^4 - 4x^2 - 5 = (x^2 - 5)(x^2 + 1)$ となります。

(1) 有理数の範囲での因数分解:

$(x^2 - 5)(x^2 + 1)$ において、$x^2 - 5$ と $x^2 + 1$ が有理数の範囲でさらに因数分解できるかを考えます。$x^2 - 5 = 0$ の解は $x = \pm\sqrt{5}$ であり、有理数ではないので、$x^2 - 5$ は有理数の範囲ではこれ以上因数分解できません。同様に、$x^2 + 1 = 0$ の解は $x = \pm i$ であり、有理数ではないので、$x^2 + 1$ は有理数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

したがって、有理数の範囲での因数分解は $(x^2 - 5)(x^2 + 1)$ となります。

(2) 実数の範囲での因数分解:

$x^2 - 5 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$ と因数分解できます。

$x^2 + 1 = 0$ の解は $x = \pm i$ であり、実数ではありません。したがって、$x^2 + 1$ は実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

したがって、実数の範囲での因数分解は $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 1)$ となります。

(3) 複素数の範囲での因数分解:

$x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$ と因数分解できます。

したがって、複素数の範囲での因数分解は $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i)(x + i)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 有理数の範囲: $(x^2 - 5)(x^2 + 1)$

(2) 実数の範囲: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 1)$

(3) 複素数の範囲: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i)(x + i)$