数列 $\{a_n\}$ が、初期値 $a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = 2 - \frac{1}{a_n}$ によって定義されています。 (ア) $a_2$, $a_3$, $a_4$ の値を求めます。 (イ) 第 $n$ 項 $a_n$ を推測し、その推測が正しいことを数学的帰納法で証明します。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、初期値 $a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = 2 - \frac{1}{a_n}$ によって定義されています。

(ア) $a_2$, $a_3$, $a_4$ の値を求めます。

(イ) 第 $n$ 項 $a_n$ を推測し、その推測が正しいことを数学的帰納法で証明します。

2. 解き方の手順

(ア)

$a_1 = 2$ を用いて、漸化式から順に $a_2, a_3, a_4$ を計算します。

$a_2 = 2 - \frac{1}{a_1} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$a_3 = 2 - \frac{1}{a_2} = 2 - \frac{1}{\frac{3}{2}} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

$a_4 = 2 - \frac{1}{a_3} = 2 - \frac{1}{\frac{4}{3}} = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

(イ)

$a_1 = \frac{2}{1}, a_2 = \frac{3}{2}, a_3 = \frac{4}{3}, a_4 = \frac{5}{4}$ より、$a_n = \frac{n+1}{n}$ と推測できます。

これを数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1+1}{1} = 2$ となり、成立します。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{k+1}{k}$ が成立すると仮定します。

このとき、$a_{k+1} = 2 - \frac{1}{a_k} = 2 - \frac{1}{\frac{k+1}{k}} = 2 - \frac{k}{k+1} = \frac{2(k+1) - k}{k+1} = \frac{2k+2-k}{k+1} = \frac{k+2}{k+1} = \frac{(k+1)+1}{k+1}$ となります。

これは、$n=k+1$ のときも $a_n = \frac{n+1}{n}$ が成立することを示しています。

したがって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $a_n = \frac{n+1}{n}$ が成立します。

3. 最終的な答え

(ア) $a_2 = \frac{3}{2}, a_3 = \frac{4}{3}, a_4 = \frac{5}{4}$

(イ) $a_n = \frac{n+1}{n}$