与えられた2つの問題を解きます。 問題1は、与えられた2つの解を持つ2次方程式を求める問題です。 (1) 解が $2 + \sqrt{3}$ と $2 - \sqrt{3}$ の場合 (2) 解が $\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ の場合 問題2は、和と積が与えられた2つの数を求める問題です。 (1) 和が5、積が3の場合

1. 問題の内容

与えられた2つの問題を解きます。

問題1は、与えられた2つの解を持つ2次方程式を求める問題です。

(1) 解が $2 + \sqrt{3}$ と $2 - \sqrt{3}$ の場合

(2) 解が $\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ の場合

問題2は、和と積が与えられた2つの数を求める問題です。

(1) 和が5、積が3の場合

2. 解き方の手順

問題1(1):

2つの解を $\alpha = 2 + \sqrt{3}$ と $\beta = 2 - \sqrt{3}$ とします。

解と係数の関係より、

和：$\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

積：$\alpha \beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

求める2次方程式は、$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$ なので、

$x^2 - 4x + 1 = 0$

問題1(2):

2つの解を $\alpha = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ と $\beta = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ とします。

和：$\alpha + \beta = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}i + 1 - \sqrt{3}i}{2} = \frac{2}{2} = 1$

積：$\alpha \beta = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \frac{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)}{4} = \frac{1 - (\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{1 - (3i^2)}{4} = \frac{1 - (-3)}{4} = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

求める2次方程式は、$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$ なので、

$x^2 - x + 1 = 0$

問題2(1):

2つの数を $\alpha$ と $\beta$ とします。

$\alpha + \beta = 5$

$\alpha \beta = 3$

解と係数の関係より、$\alpha$ と $\beta$ は2次方程式 $x^2 - 5x + 3 = 0$ の解です。

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

したがって、2つの数は $\frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ と $\frac{5 - \sqrt{13}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $x^2 - 4x + 1 = 0$

(2) $x^2 - x + 1 = 0$

問題2:

(1) $\frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ と $\frac{5 - \sqrt{13}}{2}$