与えられた2つの数を解とする二次方程式を求める問題です。 (1) 解が $2 + \sqrt{3}$ と $2 - \sqrt{3}$ の場合。 (2) 解が $\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ の場合。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた2つの数を解とする二次方程式を求める問題です。

(1) 解が $2 + \sqrt{3}$ と $2 - \sqrt{3}$ の場合。

(2) 解が $\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ の場合。

2. 解き方の手順

二次方程式の解が $\alpha$ と $\beta$ であるとき、二次方程式は $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$ と表すことができます。これを展開すると、 $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ となります。

つまり、解の和 $\alpha + \beta$ と解の積 $\alpha\beta$ を求めれば、二次方程式を求めることができます。

(1) 解が $2 + \sqrt{3}$ と $2 - \sqrt{3}$ の場合。

解の和: $\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

解の積: $\alpha\beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

したがって、二次方程式は $x^2 - 4x + 1 = 0$ となります。

(2) 解が $\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ の場合。

解の和: $\alpha + \beta = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}i + 1 - \sqrt{3}i}{2} = \frac{2}{2} = 1$

解の積: $\alpha\beta = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \frac{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)}{4} = \frac{1^2 - (\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{1 - (3i^2)}{4} = \frac{1 - 3(-1)}{4} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

したがって、二次方程式は $x^2 - x + 1 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 4x + 1 = 0$

(2) $x^2 - x + 1 = 0$